¿La anomalía ABJ para el campo de calibre abeliano tiene un argumento topológico?

En el caso de las teorías de gauge no abelianas, los instantones clasifican las principales$SU(N)$manojos$P$por medio de la segunda Clase Chern$c_2(P)$(Para otros grupos de indicadores, es posible que necesitemos invariantes topológicos adicionales para la clasificación). Son soluciones autoduales de las ecuaciones de Yang-Mills pero su clase topológica, es decir, otras configuraciones que pertenecen al mismo paquete, en general no son autoduales ni soluciones de las ecuaciones de movimiento. El término topológico otorga un peso común a todas estas configuraciones pertenecientes al mismo paquete en la integral de trayectoria.

En el caso de las teorías de norma U(1) sobre un sistema compacto$4-$colector$\mathcal{M}$, los campos autoduales, aunque existen en general, pero no caracterizan a los haces principales, y además, tanto el término de Maxwell como el término theta se desvanecen para una configuración autodual pura (anti-autodual).

Sin embargo, puede haber paquetes U(1) no triviales, por lo que un término theta topológico otorga diferentes pesos a diferentes paquetes en la integral de trayectoria.

Paquetes principales U(1)$Q$se clasifican por la primera clase de Chern. Dado que la primera clase de Chern está representada por un campo de calibre abeliano, el término theta tiene la forma:

$$\mathcal{L}_{\theta} = \theta \int F \wedge F = \theta \int c_1(Q) \wedge c_1(Q)$$

Así, por ejemplo, el término topológico abeliano no detecta un elemento del cuarto grupo de cohomología$H^4(\mathcal{M})$que no se puede descomponer como un producto cuña de dos elementos de$H^2(\mathcal{M})$.

Dado que en una variedad compacta se debe cumplir la condición de cuantificación de Dirac:

$$\frac{q}{2\pi \hbar} \int_{\sigma} F = m(Z) \in \mathbb{Z}$$ dónde, $Z$es un ciclo bidimensional en $M$. ( $m(Z)$cuenta las unidades de flujo a través de la superficie de $Z$), luego descomponiendo $F$como combinación lineal de dos formas integrales, el término topológico se convierte en: $$(\frac{q}{2\pi \hbar})^2 \int_{\mathcal{M}} F \wedge F = \sum_{i, j = 1}^{b_2} m(Z_i) Q_{ij }m(Z_j)$$ (Consulte el siguiente trabajo de Olive (ecuación (3)).

La matriz entera$Q_{ij}$es la matriz de intersección recíproca, es decir, su recíproca cuenta el número de puntos de la intersección de los ciclos$Z_i$y$Z_j$.

Sin embargo, los campos duales propios entran en el índice de Dirac, pero lo hacen debido a la interacción con el campo gravitacional de fondo de la variedad.$\mathcal{M}$. El índice del operador de Dirac-Weyl en un compacto$4-$La variedad dimensional viene dada por:

$$\mathrm{ind}(D_A) = (\frac{q}{2\pi \hbar})^2 \int_{\mathcal{M}} F \wedge F - \frac{\eta}{8}$$ dónde $\eta$es la firma de Hirzebruch, que es la diferencia entre el número de dos formas armónicas auto duales y armónicas anti-auto duales en $\mathcal{M}$. (Por favor ver Olive y Luis Alvarez-Gaumé .