La forma integrada de la ecuación de no conservación anómala en dos dimensiones

Tengo preguntas en la sección 19.1 de Peskin y Schroeder.

$$\begin{equation} \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \tag{19.7} \end{pmatrix} \end{equation}$$

Los subíndices indican el$\gamma^5$valor propio

A continuación, mostraremos que hay situaciones en las que la ley de conservación de la corriente axial

$$\partial_{\mu} j^{\,\mu 5} =0 .$$ se viola, y la versión integrada de $$\partial_{\mu} j^{\,\mu 5} = \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \tag{19.18}$$ sostiene donde el símbolo totalmente antisimétrico $\epsilon^{\mu \nu}$Se define como $\epsilon^{01}=+1$en la página 653.

Analicemos este problema pensando en fermiones en una dimensión espacial en segundo plano.$A^1$campo que es constante en el espacio y tiene una dependencia temporal muy lenta. Supondremos que el sistema tiene una longitud finita$L$, con las condiciones de frontera periódicas.

Entonces$A^1(t,0)=A^1(t,L)$, y también$\psi(t,0)=\psi(t,L)$.

los estados propios de una sola partícula de$H$tener energías

$$\begin{alignat}{2} \psi_+ : \quad \quad & E_n && =+(k_n -eA^1), \\ \psi_+ : \quad \quad & E_n && =-(k_n -eA^1). \tag{19.36} \end{alignat}$$

Ahora consideramos el cambio lento de$A^1$.

Si$A^1$cambia por la cantidad finita

$$\Delta A^1 = \frac{2\pi}{eL} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (19.37)$$

Dónde$\Delta A^1 \gt 0$.

el espectro de$H$vuelve a su forma original. En este proceso, cada nivel de$\psi_+$se mueve hacia abajo al siguiente poston, y cada nivel de$\psi_-$sube a la siguiente posición. Los números de ocupación de los niveles deben mantenerse en este proceso adiabático. Por lo tanto, notablemente, un fermión que se mueve hacia la derecha ($\psi_+$) desaparece del vacío y un fermión extra que se mueve hacia la izquierda ($\psi_-$) aparece.

Entonces

$$\quad \Delta N_R=-1 ,\quad \Delta N_L=1$$ .

Al mismo tiempo,

$$\begin{alignat}{2} \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} &=&& \int dt dx \frac{e}{\pi} \partial_0 A^1 \\ &=&& \frac{e}{\pi} L(-\Delta A^1) \\ &=&& -2 \tag{19.38} \end{alignat}$$

donde he corregido un error de imprenta en el LHS de la primera línea.

donde hemos insertado (19.37) en la última línea. Por lo tanto, la forma integrada de la ecuación de no conservación anómala (19.18) se cumple de hecho:

$$\Delta N_R - \Delta N_L = \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu} . \tag{19.39}$$

Para$\Delta N_R - \Delta N_L =-2$.
De

$$\int d^2x \partial_{\mu} j^{\,\mu 5} =\Delta N_R - \Delta N_L \tag{19.30}$$ obtenemos $$\int d^2x \partial_{\mu} j^{\,\mu 5} = \int d^2x \frac{e}{2\pi} \epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.$$

Pregunta 1:
He comprobado todos los cálculos que conducen a (19.38). Pero no puedo entender el signo menos en la segunda y tercera línea de (19.38).
¿De dónde viene?

Pregunta 2 :

Al calcular los cambios en los números de fermiones separados, hemos supuesto que el vacío no puede cambiar la carga a grandes energías negativas. Esta prescripción es invariante de calibre, pero conduce a la no conservación de la corriente del vector axial.

De ello se deduce que si el vacío cambiara la carga a grandes energías negativas, esta prescripción no sería invariante de calibre.
¿Cómo? Por favor, ¿podría explicar?