La constante de Planck ℏℏ\hbar, el momento angular y la acción

las dimensiones de

1. la constante de Planck$\hbar$,
2. la acción$S$, y
3. el momento angular,

están limitadas por los siguientes hechos importantes:

1. Un par conjugado de dos observables está relacionado mecánicamente cuánticamente con la constante de Planck$\hbar$a través de una relación de incertidumbre de Heisenberg .

2. Un par conjugado de dos variables se relaciona clásicamente con la acción$S$a través del teorema de Noether , cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Escuche, por ejemplo, a Richard Feynman aproximadamente 50 minutos después de este video de YouTube.

3. La variable conjugada de un momento angular es un ángulo (posición angular), que generalmente se trata como adimensional.

Déjame tratar de responder usando palabras diferentes pero con el mismo espíritu que Qmecánico.

Seguramente no es una coincidencia que$\hbar, S, \vec J$tener las mismas unidades. Ante todo,$\hbar$es el cuanto del momento angular o el cuanto de la acción, una constante universal que determina la fuerza de los efectos cuánticos. Así que si adoptas una de estas dos definiciones, explicas por qué$\hbar$tiene las mismas unidades que$S$o$\vec J$(solo uno de ellos) y reducir la pregunta a por qué el momento angular y la acción tienen las mismas unidades.

No es difícil ver por qué el momento angular y la acción tienen las mismas unidades. Ambos pueden escribirse como$p\cdot x$, dimensionalmente hablando. El momento angular (orbital) se define como$\vec r \times P$; el conmutador de$x,p$es$xp-px=i\hbar$, que también puede haber incluido, tiene las unidades de posición por impulso; y la acción tiene las mismas unidades porque la acción tiene las mismas unidades que el lagrangiano por tiempo$Lt$que es lo mismo que las unidades del tiempo hamiltoniano$Ht$y porqué$p\dot x$aparece en la diferencia/suma entre$L$y$-H$, en$L+H$, está claro que$Lt$tiene que tener unidades de$px$, también.

Debido a que la fuerza de los efectos cuánticos está determinada por$\hbar$que tiene las mismas unidades que la acción$S$o el momento angular$\vec J$, se sigue que ambos$S/\hbar$y$\vec J/\hbar$son adimensionales: no tienen unidades.

Ambos hechos tienen una explicación sólida e importante en los fundamentos de la mecánica cuántica. La acción dividida por la constante de Planck reducida es lo que aparece en el exponente en la integral de trayectoria de Feynman,

$${\mathcal A}_{i\to f} = \int {\mathcal D}\phi\cdot \exp(iS[\phi]/\hbar)$$ y los exponentes tienen que ser adimensionales, por supuesto. A partir de este enfoque de Feynman, podría determinar que la constante que mide la fuerza de los efectos cuánticos tiene las mismas unidades que la acción.

Análogamente, puedes decir algo similar sobre el momento angular. La razón es que los operadores$J_x/\hbar$y$J_y/\hbar$tener un conmutador

$$[\frac{J_x}{\hbar}, \frac{J_y}{\hbar}] = i \frac{J_z}{\hbar}$$ igual simplemente a la última componente de $\vec J/\hbar$, sin ningún coeficiente adicional. Así que estos tres operadores generan un impecable $SU(2)$o $SO(3)$"Álgebra de mentira" en la normalización matemática sin unidades. (Bueno, los matemáticos también incluirían la $i$en cada generador para que ni siquiera hubiera un prefactor de $i$en el lado derecho.) Por esta razón, los valores propios de $J_z/\hbar$están cuantificados: son inevitablemente múltiplos de $\hbar/2$. podemos decir que $\hbar/2$es el cuanto elemental del momento angular. (El momento angular orbital es un múltiplo de $\hbar$sin el factor de 1/2.)

Solo con un poco de conocimiento del teorema de Noether que vincula las leyes de conservación y las simetrías, uno podría haber adivinado, antes de aprender la mecánica cuántica completa, que el momento angular debería estar relacionado con los generadores de rotaciones. Debido a que los ángulos de rotación son adimensionales, los generadores también deben ser adimensionales, lo que significa que la mecánica cuántica debe contener una constante cuyas unidades sean las mismas que las del momento angular para que sea posible construir un adimensional.$\vec J/\hbar$fuera de ellos

Es algo difícil encontrar una relación más "directa" entre el momento angular y la acción, a pesar de tener las mismas unidades. En particular, el momento angular está cuantificado, un múltiplo de$\hbar/2$como he mencionado. Por el contrario, la acción$S$es continuo Como muestra la integral de trayectoria de Feynman, la acción$S$en realidad solo tiene sentido en la mecánica cuántica hasta cambios por múltiplos de$2\pi\hbar$. Tales cambios no cambian la exponencial. Entonces, el momento angular solo permite valores enteros (o semienteros); por otro lado, ¡la acción solo se preocupa por las partes fraccionarias! Entonces, la acción y el momento angular nunca son realmente "lo mismo" en ningún sentido, a pesar de sus unidades idénticas. Después de todo, el momento angular es un pseudovector (un conjunto particular de cantidades conservadas en teorías rotacionalmente simétricas) mientras que la acción es el último escalar del espacio-tiempo que define una teoría e invariante bajo todo.

Aunque las respuestas hasta ahora a estas preguntas son muy interesantes e informativas, creo que desde un punto de vista analítico, su pregunta no es del todo sensata.

En una estructura matemática, se podría argumentar que no hay "coincidencias", todo está relacionado a través de la base fundamental. Ahora en la práctica, las respuestas explican por qué "$\hbar$", "momento angular" y "la acción$S$" están relacionados. Pero si "masa$m$", "posición$x$" y "impulso$p$" tendría las mismas unidades, entonces también habría una explicación para eso, porque estas son partes de una teoría física, puesta en términos matemáticos.

Entonces, si pregunta "¿Hay algo interesante que decir sobre el hecho de que ℏ, el momento angular y la acción tienen las mismas unidades o es pura coincidencia?" (y lo hace), entonces la respuesta es "Sí", seguido opcionalmente por una elaboración de la estructura matemática de la teoría, una búsqueda de un denominador común.