Anyons solo en 2 + 1 dimensiones de espacio-tiempo - mejor explicación

Por favor, primero permítame referirlo al artículo original de Leinaas y Myrheim donde se predijo por primera vez la existencia de estadísticas anónicas antes de su descubrimiento real. Todos los ingredientes para la comprensión de las propiedades especiales del caso bidimensional ya existen en este documento antiguo, sin embargo, intentaré expresarlo en una terminología más moderna:

Al pasar a un centro polar de coordenadas de masa, el espacio de configuración de dos partículas escalares idénticas en$\mathbb{R}^n$se puede representar como:

$$\frac{\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n}{\sim } = \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^+\times \frac{S^{n-1}}{\mathbb{Z}_2}$$

Dónde:$\sim$es la relación de equivalencia de partículas idénticas, la$\mathbb{R}^n$en el lado derecho está el centro de coordenadas de masa,$\mathbb{R}^+$es la coordenada radial, y$\frac{S^n}{\mathbb{Z}_2}$son las coordenadas angulares. La relación de equivalencia correspondiente al intercambio en las coordenadas angulares es simplemente la identificación de los puntos antípodas en la superficie de la esfera, lo que da cuenta del factor${\mathbb{Z}_2}$en el denominador. El centro de masa y las coordenadas radiales son transparentes al intercambio, por lo que podemos concentrarnos en las coordenadas angulares, que en realidad consisten en los espacios proyectivos reales:

$$RP^n = \frac{S^n}{\mathbb{Z}_2}$$

Estos espacios no están simplemente conectados, sus grupos fundamentales se pueden deducir fácilmente de la contractibilidad de los bucles cerrados en la esfera con la identificación de los puntos antípodas como se indica en la pregunta:

$$\pi_1(RP^n ) = \mathbb{Z}_2, n>1$$

$$\pi_1(RP^1 ) = \mathbb{Z}$$

La forma habitual de cuantificar en una variedad no simplemente conectada es construir funciones de onda en la cubierta universal con propiedades de transformación apropiadas en el intercambio:

$$\psi(x^a) = e^{i\phi} \psi(x)$$

Dónde$x^a$es el punto antípoda de$x$. Por supuesto, la transformación puede ser solo una multiplicación de fase, porque la elección del punto o su antípoda no debe cambiar los valores esperados de los observables ya que ambos puntos corresponden al mismo punto físico en el espacio de configuración.

Además, desde$S^n$es simplemente conectado entonces, el mapa$S^n \rightarrow RP^n$es un mapa de cobertura, por lo tanto,$RP^n = \frac{S^n}{\pi_1(RP^n ) }$. La transformación de fase debe ser una representación de$\pi_1(RP^n )$. En nuestro caso, cuando$n>2$,$\mathbb{Z}_2$tiene solo dos fases de representación, la representación trivial y la representación alterna.

Sin embargo, en el caso bidimensional, podemos elegir una representación$\gamma$en el que el generador$\Gamma$de$\mathbb{Z}$está representado por una fase constante arbitraria$e^{i\phi}$, entonces la representación de un elemento arbitrario en$\mathbb{Z}$será:

$$\gamma(\Gamma^n) = e^{in\phi}$$

Ahora, recuerde que en la imagen geométrica del grupo fundamental, los generadores están representados por bucles cerrados, por lo tanto, la representación$\gamma$asigna una fase a cada bucle cerrado (de modo que la ley de composición de los bucles se refleja en la multiplicación de las fases). Esta asignación se puede describir como la existencia de cuantificaciones no equivalentes correspondientes al conjunto de mapas:

$$\mathrm{Hom}(\pi_1(RP^n ), U(1))$$

Cuando$n>2$, este conjunto contiene solo dos clases, (Bosones y fermiones), mientras que cuando$n=2$, este conjunto es infinito.

En resumen, habrá un conjunto de cuantizaciones posibles, en cada conjunto la ecuación de onda angular debe resolverse con una condición diferente al intercambiar los puntos antípodas en la esfera. La solución corresponderá a un tipo de partícula diferente.

Leinaas y Myrheim resolvieron el problema del oscilador armónico isotrópico bidimensional idéntico con funciones de onda que se transforman con una fase arbitraria en la identificación antípoda y encontraron que el espectro depende del factor de fase de transformación.

Ahora bien, según el teorema de clasificación de las conexiones planas, toda representación (proyectiva) del grupo fundamental puede asociarse a una conexión plana$A$tal que:

$$\gamma(\Gamma) = e^{\int_{\Gamma} A_{\gamma}}$$

Esta conexión es esencial para la construcción de los operadores cuánticos correspondientes a las funciones clásicas en el espacio de fases según la representación de Koopman - Van Hove:

$$\hat{O}_{\gamma} = O - i \hbar X_{O} -A_{\gamma} (X_{O} )$$

Dónde$O$es una función en el espacio de fases,$\hat{O}_{\gamma}$es el operador cuántico correspondiente, y$X_O$es el campo vectorial hamiltoniano correspondiente.

Por cierto, cuando el espacio de configuración es$S^1$, esta conexión plana es la famosa conexión Aharonov-Bohm.

Para obtener más información sobre la clasificación de cuantizaciones no equivalentes, consulte los siguientes dos artículos de NP Landsman y de Doebner Šťovíček, y Tolar . En realidad, el primer autor (Landsman) tiene reservas (nota al pie 13 en el artículo) sobre la explicación habitual usando transporte paralelo y prefiere el razonamiento de representación inducida que traté de seguir.