Permítanme tomar las partes 2. y 3. de la pregunta primero:

Las 10 dimensiones de la teoría de cuerdas, a priori, no están "enrolladas" ni nada más. Se derivan de una teoría de cuerdas donde la versión clásica de la cuerda se propaga en d-1 dimensiones espaciales y 1 dimensión temporal, es decir, el espacio de Minkowski.$\mathbb{R}^{1,d-1}$. "Dimensión" aquí es la dimensión de una variedad en el sentido habitual de geometría diferencial: número de coordenadas necesarias para distinguir de manera única un punto en la variedad de todos los puntos cercanos a él.

Ahora, en cuanto a por qué la teoría de (super) cuerdas en el espacio plano requiere$d=10$:

Una forma de ver la teoría de cuerdas es mediante ciertas teorías de campo conforme bidimensionales que viven en la hoja del mundo que la cuerda traza en el espacio objetivo. Doy una explicación rápida de la estructura de tales teorías aquí . La carga conforme total de la CFT combinada completa en la hoja del mundo se puede ver como la anomalía cuántica de la simetría clásica de Weyl de la cuerda; para una discusión general de la relación entre anomalías y cargas centrales, consulte esta respuesta de DavidBarMoshe , para una discusión general de la relación entre los cargos centrales y la cuantización, consulte estas preguntas y respuestas mías .

La cuantificación de la cuerda bosónica (o "ingenua") tiene d campos de coordenadas que corresponden cada uno a una CFT bosónica libre con carga central$c=1$más un "sistema fantasma" incurrido por la cuantificación BRST que tiene una carga central$c=-26$. Se permite que los sistemas fantasma tengan carga central negativa porque se desacoplan de todos los procesos físicos.

Ahora, el procedimiento utilizado para cuantificar esta cadena en primer lugar hace uso de la simetría de Weyl que no es anámala, es decir$c=0$para la teoría completa - que sólo ocurre en$d\cdot 1 - 26 = 0$, es decir$d=26$. Por lo tanto, la cuerda bosónica existe consistentemente como teoría cuántica solo en 26 dimensiones.

La súper cadena es ahora lo que obtienes cuando además tienes fermiones viviendo en la hoja del mundo. Se llama la "súper" cuerda porque la nueva acción es supersimétrica, pero también podría llamarse "cuerda giratoria", ya que tratar de escribir una acción de línea de mundo para una partícula con espín también introduce tales fermiones.

En cualquier caso, el sistema fantasma para la mayor simetría de la supercuerda tiene$c=-15$, y cada uno de los fermiones contribuye$c=1/2$. Esto da los requisitos$\frac{3}{2}d - 15 = 0$, que se resuelve por$d=10$.

Me temo que la derivación completa es bastante técnica y sería de poca utilidad reproducirla aquí. Por último, se debe señalar que hay muchas formas equivalentes de llegar a esta restricción en las dimensiones, esta no es la única, pero es la más fácil de decir para mí. Otros pueden encontrar una presentación que discuta las constantes de orden relacionadas con la energía del vacío más intuitiva físicamente, por ejemplo.

(1) La Teoría de Cuerdas es una teoría muy matemática basada en unos supuestos naturales, y esto acaba relacionando la Mecánica Cuántica y la Relatividad General, como queremos. Sin embargo, algunas de las ecuaciones de la teoría de cuerdas tienen una constante de proporcionalidad$c$en ella, llamada carga central . Y cuando manipulamos estas ecuaciones y las igualamos, vemos que SÓLO tienen sentido si$c=26$. Este$c$ es la dimensión del espacio sobre la que se define a priori la Teoría de Cuerdas, así que ahora vemos que necesitamos 26 dimensiones para no tener absurdos... PERO eso solo hizo uso de las partículas bosónicas en el mundo -- ¡¡nos olvidamos de los fermiones!! Aquí es donde entra en juego la supersimetría , y arroja los fermiones, y las ecuaciones se perturban y conducen a una nueva dimensión de 10 para que todo tenga sentido.

(2) El hecho de que no podamos verlo, no significa que no esté allí... no podemos ver los átomos a simple vista, pero podemos usar herramientas para verlos... lo mismo sucede aquí, nuestro actual la tecnología no puede verlos, pero esperamos cambiar esto en el futuro. AÚN MEJOR, sin embargo, es que la fórmula para la fuerza gravitacional en realidad debería ser diferente debido a estas dimensiones extra pequeñas; por lo tanto, planeamos calcular estas dimensiones adicionales probando la fuerza gravitacional a distancias pequeñas y viendo una perturbación en el cuadrado inverso estándar. ley de Newton. Estas dimensiones adicionales son las que se supone que hacen que la gravedad sea tan débil en comparación con las otras fuerzas de la naturaleza.

(3) una dimensión es solo un eje de coordenadas... así que el tiempo también es una dimensión. Y al igual que su reloj, este eje puede repetirse y no extenderse hasta el infinito.

Para la teoría de cuerdas bosónicas, vea esto . Usaré la misma notación estándar en esta respuesta.

Supercuerdas (en el formalismo RNS)

sector ramon

$$\begin{array}{l}0 = {{\hat G}_0}\left| \psi \right\rangle \\{\rm{ }} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n}} \left| \psi \right\rangle {\rm{ }}\\{\rm{ }} = \left( {{{\hat \alpha }_0}\cdot\,{{\hat d}_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle {\rm{ }}{\kern 1pt} \,\\{\rm{ }} = \left( {\left( {\frac{1}{2}{\ell _P}{p^\mu }} \right)\,\cdot\,\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}{\gamma ^\mu }} \right) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle \\{\rm{ }} = \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}{\ell _P}{\gamma ^\mu }{p_\mu } + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle \left( {} \right)\\{\rm{ }} = \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}{\ell _P}{\gamma ^\mu }{p_\mu } + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle \\\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}{\ell _P}{\gamma ^\mu }{p_\mu } + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle = 0\\\left( {{\gamma ^\mu }{p_\mu } + \frac{{2\sqrt 2 }}{{{\ell _P}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle = 0\end{array}$$

Esta es la ecuación de Dirac-Ramond.

Todavía en el sector de Ramond,

$${\hat L_0}\left| \psi \right\rangle = \hat G_0^2\left| \psi \right\rangle$$ =

$${\hat L_0}\left| \psi \right\rangle = \hat G_0^2\left| \psi \right\rangle$$

$$a = 0$$

Ahora, considere algunos vectores de estado espurio de Neveu-Schwarz de nivel 1$\left| \varphi \right\rangle = {\hat G_{ - 1/2}}\left| \chi \right\rangle$

$$0 = {\hat G_{1/2}}\left| \chi \right\rangle = {\hat G_{3/2}}\left| \chi \right\rangle = \left( {{{\hat L}_0} - a + \frac{1}{2}} \right)\left| \chi \right\rangle$$

Asi que,$a = \frac{1}{2}$en el sector Neveu - Schwarz.

Ahora, consideramos un vector de estado espurio de Ramond$\left| \varphi \right\rangle = {\hat G_0}{\hat G_{ - 1}}\left| \chi \right\rangle$; dónde${\hat F_1}\left| \chi \right\rangle = \left( {{{\hat L}_0} + 1} \right)\left| \chi \right\rangle = 0$

$$0 = {\hat L_1}\left| \psi \right\rangle = \left( {\frac{{{{\hat G}_1}}}{2} + {{\hat G}_0}{{\hat L}_1}} \right){\hat G_{ - 1}}\left| \chi \right\rangle = \frac{{D - 10}}{4}\left| \chi \right\rangle$$

De este modo,$D=10$.

Uno puede postular teorías matemáticas de cuerdas en cualquier dimensión de cualquier tipo.

Sin embargo, no entiendo por qué hay diez dimensiones y no cualquier otro número.

Las dimensiones específicas surgen de los requerimientos de la física conocida encapsulada en el Modelo Estándar y otros datos provenientes de la física de partículas, más el requerimiento de la Relatividad General y su cuantización. Los grupos Unitarios Especiales cuyas representaciones albergan a la SM necesitan al menos de estas dimensiones. Hay modelos con más dimensiones que este.

Además, si todas las demás dimensiones están tan enrolladas en un espacio tan pequeño, ¿cómo distinguimos una dimensión de la otra?

No podemos pasar a los enrollados, solo en$x,y,z$. No necesitamos distinguirlos, como no distinguimos las moléculas en el aire. Las predicciones de este tipo de teoría sobre el comportamiento de las partículas es la única forma de comprobar su existencia: coherencia de la teoría con los datos.

Si es así, ¿cómo definimos la dimensión?

Una variable de espacio (centímetros) o de tiempo (segundos) que es continua y mapea los números reales, cada dimensión en$90^{\circ}$al resto, una extensión de cómo definimos normal$x,y,z$.Que algunos estén rizados no debe molestar a uno. Las coordenadas sobre la tierra están curvadas sobre la superficie de la esfera, por ejemplo, la$90^{\circ}$no aguanta ahí. Se mantendría en la superficie de un cilindro,$z$de$-\infty$a$\infty$,$x$de$0$a$2\pi r$.

Para hacer que las matemáticas funcionen. Desde que Einstein determinó que el tiempo es en realidad otra dimensión, los físicos han usado esa noción para expandir la concepción del Universo para incluir dimensiones adicionales (no sensatas) para que sus matemáticas y teorías funcionen. De particular interés es la unificación de las teorías de cuerdas de Witten que "solo" requirió la adición de otra dimensión.

Lo que los teóricos de cuerdas no se dan cuenta es que cada dimensión representa un grado adicional de libertad y, por lo tanto, muy bien puede estar bajo restricciones del sistema.

En parte debido a esto, es por eso que algunos críticos de la teoría de cuerdas (Woit, Smolin) han llamado a la teoría de cuerdas "Ni siquiera equivocada" y "La teoría no de 'Todo' sino de 'Cualquier cosa'".