Derivación de la proporcionalidad del volumen del espacio de fase log(Γ)∝N

En la derivación de la extensividad de la entropía para el conjunto micro-canónico, asumimos un conjunto de dos sistemas con las energías mi 1 y mi 2 . La energía total se da como mi < mi 1 + mi 2 < mi + Δ .

Más adelante en la derivación, para aproximar registro ⁡ Γ y registro ⁡ mi Δ , usamos las relaciones

registro ⁡ Γ ∝ norte _ y registro ⁡ mi Δ ∝ registro ⁡ norte _

con el volumen del espacio de fase Γ = ∫ mi < H ( pag , q ) < mi + Δ 1 norte ! h 3 norte d pag 3 norte d q 3 norte Los libros de texto como Statistical Mechanics de Huang no motivan ni derivan estas relaciones.

Con solo el conocimiento de Γ ( mi ) dado arriba, llegar a las relaciones registro ⁡ Γ ∝ norte y registro ⁡ mi Δ ∝ registro ⁡ norte ?

¿Podría explicar exactamente lo que quiere decir con cada una de sus variables? Tienes un mi , un mi 1 , un mi 1 i , etc. y es difícil inferir qué significa cada uno de ellos.

Respuestas (1)

1) Asumo que estás siguiendo una derivación en el libro de texto de Hunag, así que intentaré ceñirme a ella. No creo que su integral de espacio de fase esté normalizada por 1 norte ! h 3 norte (ecuación 6.10 en la 2ª edición).

Es un volumen de 6N dimensiones. Así que no importa cuál sea la forma exacta de este volumen de 6N dimensiones, se escala como algo para potenciar N. El logaritmo de este valor se escala como N.

Alternativamente, puede asumir la integración sobre una esfera dimensional 6N, y el volumen de la misma es R 6 norte .

2) La última aproximación requiere decir que la energía mi escalas como norte y Δ es un número que no depende del número de partículas.

¿Hay alguna razón teórica por la cual la energía escala como norte ¿O es solo evidencia empírica? Conozco la fórmula para la energía de un gas ideal, pero si hay interacciones muy fuertes, no veo por qué la energía aún debería escalar como N
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