Ir de un vértice al opuesto - dodecágono

Tenga en cuenta que 12 son muy pocos pasos para atravesar el dodecágono, por lo que la hormiga debe moverse una red de 6 pasos en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj para terminar en el vértice opuesto. Así que si él toma$n$pasos totales, 6 de ellos dan ese desplazamiento neto, y los restantes$n-6$debe cancelarse, es decir, mitad en el sentido de las agujas del reloj y mitad en el sentido contrario a las agujas del reloj. Por eso$(n-6)/2$tiene que ser un número entero, por lo que no hay caminos con$n$extraño.

Cuando$n$es par, el número de tales caminos de longitud$n$es solo el número de formas de elegir$(n-6)/2$pasos en un sentido y los pasos restantes en el otro sentido, es decir$p_n = 2\times\binom{n}{(n-6)/2}$, donde el factor de 2 es porque el camino puede ir en sentido horario o antihorario.

Por lo tanto, el número total de caminos es$\sum_{n=1}^{6} p_{2n} = \sum_{n=1}^{6} 2\binom{2n}{(2n-6)/2} = 548$.