¿Cuáles son las formas de numerar un dado dodecaédrico "canónicamente" hasta la simetría rotacional?

Primero, una numeración de dados "canónica", para este propósito, es aquella en la que los lados opuestos suman 13.

Podemos interpretar todas las numeraciones posibles como permutaciones de pares de caras opuestas, así como las permutaciones dentro de esos pares. Esto da$2^6\times6!=46080$combinaciones posibles (independientemente de la simetría rotacional), descritas por el grupo$C_2\wr S_6$.

Hay 60 simetrías rotacionales de un dodecaedro, descritas por el grupo$I$(o$A_5$). Solo hay un elemento de$I$(la identidad) que preservará cualquiera de las permutaciones; todos los demás elementos modificarán las permutaciones de alguna manera. Por el Lema de Burnside, eso significa que hay$\frac{46080}{60}=768$Numeración canónica de dados hasta simetría rotacional.

Sin embargo, esta respuesta me deja algo insatisfecho. Es bueno tener un número, pero no es muy intuitivo para mí. Realmente me gustaría alguna forma de describir cuáles son realmente estas combinaciones distintas, y eso me lleva a mi pregunta:

¿Existe un grupo, o un objeto similar a un grupo, que describa la numeración canónica de un dado dodecaédrico hasta la simetría rotacional? O, alternativamente, ¿existe un método combinatorio para construir estas numeraciones de dados?

Lo siento si este post es difícil de entender. No tengo una formación formal en este nivel, por lo que mi elección de palabras podría estar un poco fuera de lugar.