Número de líneas de dispersión en una matriz de puntos cuadrada

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Número de líneas de dispersión en una matriz de puntos cuadrada

geometría
Matemáticas
combinatoria
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Espectro

Quiero encontrar una fórmula para calcular la cantidad de líneas de dispersión que puedo dibujar desde cualquier esquina de una matriz de puntos cuadrada de tamaño $n \times n$ .

Por líneas de dispersión, me refiero a las líneas que conectan un punto particular con todos los demás puntos en un diagrama de puntos. Aquí hay una imagen de lo que quiero decir:

(Ese es un diagrama aproximado de lo que quiero decir; perdón por el diagrama crudo)
Aquí, la línea azul horizontal en la fila superior (cuando se considera una línea recta) conecta muchos puntos en un solo punto (por lo tanto, todos esos puntos en la línea son colineales ), por lo que cuando contamos el número de líneas de dispersión, tenemos que contar las líneas que conectan muchos puntos colineales como uno y no debemos tener en cuenta las subunidades.

Entonces, cuando consideramos una matriz de puntos cuadrada, donde los puntos están dispuestos como un cuadrado, podemos dibujar $3$ líneas de dispersión aparente, y algunas más. Lo que me gustaría encontrar es una fórmula para calcular el número de líneas de dispersión en cuadrículas de puntos cuadrados (o matrices de puntos).
Lo que tengo a mano es esta fórmula que traté de formular hoy:

{norte}^{2} - (norte + 2 (norte - 1)) + 3

$n^2 - (n + 2(n - 1)) + 3$ El problema es que esta fórmula no funciona para todos los valores de

n

$n$ (Quiero decir, la cantidad de puntos en una columna/fila de la matriz de puntos cuadrados), y tampoco he podido dedicar suficiente tiempo a encontrar la cantidad de líneas de dispersión para

n > 5

$n > 5$ . Si me lo solicita, adjuntaré los números a continuación.

Se agradece cualquier ayuda para formular una fórmula precisa. Si tal fórmula existe, por favor dígame.

Gracias de antemano.

Juan María

el huerto de euclides

Espectro

@JeanMarie, intentaré comprobarlo...

Espectro

@JeanMarie, soy inmaduro para entender todo eso... tal vez una cosa más simple sería suficiente...

Respuestas (1)

Número de líneas de dispersión en una matriz de puntos cuadrada

@JeanMarie, soy inmaduro para entender todo eso... tal vez una cosa más simple sería suficiente...

cosmo5 · Answer 1

Para $n=5$ , las pendientes de las rectas están en orden ascendente

0, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, 1, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, 2, 3, 4, \infty

${\color{red}{0},\color{blue}{\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},}\color{red}{1},\color{green}{\frac{4}{3},\frac{3}{2},2,3,4,}\color{red}{\infty}}$

donde el azul y el verde son recíprocos entre sí (simetría sobre la diagonal principal), por lo tanto, son iguales en número.

Observe las pendientes verdes se pueden agrupar como

\underset{⏟}{\frac{4}{3}, \frac{4}{1}}, \underset{⏟}{\frac{3}{2}, \frac{3}{1}}, \underset{⏟}{\frac{2}{1}}

$\color{green}{\underbrace{\frac{4}{3},\frac{4}{1}},\underbrace{\frac{3}{2},\frac{3}{1}},\underbrace{\frac{2}{1}}}$

desde donde corren los numeradores $2$ a $4$ y los denominadores son respectivamente coprimos con los numeradores.

En general, esta serie va desde $i=2$ a $i=n-1$ y cuenta para todos los enteros menores que $i$ y coprimos a él. Tenemos la función totient de Euler para contar esto, es simplemente $\varphi(i)$ .

Por lo tanto, el número deseado de líneas de dispersión es

F (norte) = 3 + 2 \sum_{i = 2}^{norte - 1} φ (i)

$f(n) = \color{red}{3} + \color{green}{2\sum_{i=2}^{n-1}} \color{green}{\varphi(i)}$

Obtenemos los siguientes valores

$n=2$ , $f(n) = 3$
$n=3$ , $f(n) = 5$
$n=4$ , $f(n) = 9$
$n=5$ , $f(n) = 13$
$n=6$ , $f(n) = 21$
$n=7$ , $f(n) = 25$

$f(n)$ satisface la relación de recurrencia

F (norte) = F (norte - 1) + 2 φ (norte - 1)

$f(n) = f(n-1) + 2\varphi(n-1)$

¿Esto es lo que hay en Euclid's Orchard? soy un $10^{\text{th}}$ calificador, así que no tengo idea de esas cosas.
No estoy muy familiarizado con el problema de Euclid's Orchard. La función totient de Euler se enseña en la teoría de números elemental.
No he aprendido todo eso, así que lo confundí con un artículo que JeanMarie puso en los comentarios debajo de mi pregunta.
¿Será esto de alguna utilidad para resolver el problema de Brocard? (Por favor, compruebe lo que es en Wikipedia)
Solo por la declaración del problema de Brocard, no puedo generar ninguna idea relacionada con el argumento anterior.
No conoces la función totient de Euler, pero estás preguntando sobre el problema de Brocard. Mire, el problema con la teoría de números es que tiene muchos problemas que cualquiera puede entender, pero que nadie puede resolver. Tiene otros problemas que cualquiera puede entender, pero se necesita un título en matemáticas para entender la solución. Es muy fácil morder más de lo que puedes masticar. Si está interesado en este tipo de problema, no hay escapatoria: tendrá que sentarse y aprender muchas matemáticas (divertidas). ¡Obtenga un texto de introducción a la teoría de números y comience a leer!
@cosmo5 La razón por la que hice esta pregunta sobre las líneas de dispersión es porque descubrí que la diferencia entre $n^2$ y el número de líneas de dispersión parecía seguir un AP al principio, luego se separó de $n = 5$ . Entonces, si podemos encontrar tal $n$ donde el AP está roto, podemos encontrar los otros números de Brown.
@GerryMyerson, lo entiendo, pero también tengo que administrar el tiempo para eso. Soy mala administrando el tiempo' :)
Como señaló @GerryMyerson, sea más minucioso en la teoría de números, para que desarrolle más herramientas y la comprensión necesaria para atacar los problemas más grandes. No están resueltos por una razón: por la profundidad que abarcan, entiéndalo.
En "Huerto de Euler", puedes preguntar cuántos de los árboles son visibles desde una esquina del huerto. Esto es lo mismo que preguntar cuántas líneas puedes dibujar desde la esquina, así que es lo mismo que tu problema.
@GerryMyerson, son los números que satisfacen el problema de Brocard, y solo $3$ se han encontrado pares de ellos. Estoy tratando de encontrar si existen muchos más de ellos o no.
¿Has leído el ensayo de Wikipedia sobre el problema de Brocard? Parece que se ha comprobado que no hay más que salir al cuatrillón. No veo ninguna conexión con Euclid's Orchard. (que es lo que quise decir fue que escribí "Euler's Orchard" hace unos comentarios).
@GerryMyerson, creo que hay y soy yo quien quiere confirmar cosas :)
@cosmo5 Pregunté en OEIS una secuencia que comienza por 3,5,9,13,21,25,.. : Obtuve esta respuesta mencionando "JD Laison y M. Schick, Ver puntos: visibilidad de puntos de celosía, Revista Matemáticas, Vol. 80 (2007), pp.

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