Invertir la ecuación para TμνTμνT_{\mu\nu} en términos de FμνFμνF_{\mu\nu}

Consulte Editar a continuación, la respuesta original no es completamente correcta.

No hay libertad de medida en$F$.$F$es calibre invariante.

En realidad,$F$es completamente medible. Sus componentes son los campos eléctrico y magnético, por lo que simplemente sale con un conjunto de cargas de prueba y mide$E$y$B$y tienes$F$.

Una pista de que$T$y$F$no contienen la misma cantidad de información es que tienen diferente número de componentes independientes.$F$tiene 6 componentes independientes como un tensor antisimétrico, mientras que$T$tiene 10 como uno simétrico. Esto no es una prueba de nada, sino una pista de que están capturando cosas diferentes.

Si está trabajando localmente (es decir, en un punto), la forma más sencilla de ver esto explícitamente es usar transformaciones de Lorentz. El tensor de energía de tensión tiene$10$componentes independientes ya que es un tensor simétrico, podemos usar el$6$Transformaciones de Lorentz para diagonalizar$T$. entonces tenemos 4 ecuaciones

$$\begin{eqnarray} T_{00} &=& \frac{1}{2}\left(E^2 + B^2\right) \\ T_{ii} &=& (E_i^2 - \frac{1}{2}E^2) + (B_i^2 - \frac{1}{2}B^2) \end{eqnarray}$$ No hay suma sobre $i$implícita en la segunda ecuación, es solo una forma rápida de escribir las 3 ecuaciones espaciales.

Puedes ver que no hay manera de resolver esto. Por un lado, hay más componentes en$E$y$B$que hay en$T$en este marco. Por otro lado, dado que los campos aparecen cuadrados, no hay forma de determinar el signo de cualquiera de los componentes de$E$o$B$.

Además, no puedes notar la diferencia entre$E$y$B$(es decir, dado$T_{00}$, quién puede decir si tuviste$E^2=0$o$B^2=0$o ninguno)? Este último punto es consecuencia de la dualidad electromagnética: en ausencia de materia, la física de E/M es invariante bajo$E\rightarrow B$,$B\rightarrow -E$.

EDITAR :

Lo anterior no es del todo correcto en detalle (aunque creo que la conclusión es correcta). Por alguna razón, descuidé el hecho de que siempre hay 10 componentes de$T_{\mu\nu}$, por lo que siempre hay 10 ecuaciones, incluso en el marco en el que$T$es diagonal. En particular, también hay condiciones como

$$\begin{eqnarray} 0 &=& E_x E_y + B_x B_y \\ 0 &=& E_x B_y - E_y B_x \end{eqnarray}$$ Así que mi argumento de conteo, "Hay más variables que ecuaciones", era incorrecto. Esto encaja con la idea de que $T$tiene más componentes que $E$--si algo se basa en contar, pensaría que la computación $T$de $E$fue lo más difícil de hacer. (De hecho, esto es genéricamente cierto: los tensores de energía de estrés que obtiene de la teoría de campos no son los tensores de energía de estrés más generales que puede escribir. Hay muchos tensores de energía de estrés que puede escribir que no provienen de un lagrangiano ).

La verdadera razón por la que esto no funcionará, por lo que sé, es la dualidad electromagnética y el hecho de que todo está al cuadrado. Simplemente no hay una manera de distinguir$E$de$B$si escribe todos los componentes. En otras palabras, la dualidad significa que las ecuaciones tienen una degeneración, por lo que hay menos ecuaciones de las que parece ingenuamente, por lo que no se pueden resolver para todos los componentes.

Por otro lado, si sabes$T$ en todas partes , no solo localmente, esa es una historia totalmente diferente. Eso es porque (1) si sabes$T$en todas partes se puede diferenciar, y (2)$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ son solo ecuaciones de maxwell$\partial_\mu T^{\mu\nu}=\partial_\mu F^{\mu\nu}$, posiblemente hasta un factor general. Entonces, salvo las advertencias habituales sobre la necesidad de conocer las condiciones de contorno, si sabe$T$en todas partes puedes resolver las ecuaciones de maxwell para obtener$F$.

Moraleja: no creas todo lo que lees en internet.

La forma más fácil que se me ocurre en el espacio de Minkowski, aparte de hacer el álgebra en términos de matrices, es usar

$$\begin{split} f^a &= \rho E^a + \epsilon^{abc} J_b B_c = \partial_b T^{ab} - \epsilon_0 \mu_0 \partial_t S^a\\ \frac{\partial T^{00}}{\partial t} &= - \vec{J}\cdot \vec{E}- \vec{\nabla} \cdot \vec{S} \end{split},$$ con $S^a \equiv \frac{1}{\mu_0} \epsilon^{abc} E_b B_c = T^{0a},$ $a,b \in \{1,2,3\}$, y espero que los campos sean fáciles de discernir.

Quizás la forma más simétrica

$$\frac{1}{2} (F_\mu{}^\rho F_{\nu\rho} + \star F_\mu{}^\rho \star\! F_{\nu\rho}),$$ con la estrella que denota el doble de Hodge, resultará más fácil de manejar en el espacio-tiempo curvo, si logras romper $T_{\mu\nu}$en una suma de matrices de estructura similar.