Invariante de Jarlskog y su origen matemático

Cecilia Jarlskog propuso esta invariante ya en 1973 y fue mencionada en el artículo original de Kobayashi-Maskawa.

Para tres familias, es fácil ver por qué es distinto de cero si y sólo si la matriz unitaria en$U(3)$no se puede llevar a lo real, es decir, ortogonal$O(3)$forma. Es porque después de las 5 redefiniciones de fase de los estados propios del quark tipo arriba y el quark tipo abajo, cada$SU(3)$La matriz se puede llevar a la forma de una$SO(3)$matriz expresada por 3 ángulos reales$\theta_{ij}$y una sola fase extra compleja$\delta$, bueno, quiero decir$\exp(i\delta)$, añadido a un elemento de matriz.

En esa parametrización de la$SU(3)$matriz, el invariante es simplemente

Ver

http://physics.brown.edu/physics/undergradpages/theses/2010Theses/GoldfarbThesis_Final.pdf

especialmente las páginas 7, 8, 11, 12 para algunos detalles y fórmulas. En particular, la primera fórmula "estándar" en la página 7 deja en claro que el$SU(3)$matriz es real, o puede hacerse real, siempre que uno de los factores en$J$desaparece

EDITAR:

Las preguntas añadidas no tienen nada que ver con la original, pero también pueden ser respondidas. No hay una "forma constructiva" de derivar el invariante de Jarlskog. Fue una suposición inteligente, una convención propuesta. Una cantidad que es cero siempre que debería serlo claramente no está definida de manera única.

Además, es incorrecto esperar una generalización canónica a matrices unitarias más grandes. Además, las matrices más grandes en realidad tienen varias fuentes independientes de violación de CP, en el mismo sentido que la matriz de 2 x 2 para 2 familias no tiene ninguna. Entonces sería más natural tener varios invariantes para matrices más grandes y decir que CP se conserva si todos ellos son cero. Pero una vez más, esos invariantes no serían únicos en ningún sentido.

En cuanto a la tercera cuestión, la independencia sobre las bases, es trivial de ver. La matriz CKM$V$es la matriz de transición que asigna tres estados propios de masa particulares a la$SU(2)$socios de otros tres estados propios particulares. Todos estos seis estados propios se determinan de forma única, hasta una fase (suponiendo que estén normalizados).

Pero es fácil ver que$J$es invariante bajo estos seis cambios de fases. Por ejemplo, cambiar la fase de la$b$vector propio por$\exp(i\beta)$. Esta fase se cancela en$J$porque$J$depende de esta fase sólo a través de$V_{cb}$y$V_{ub}^*$factores: en ambos,$b$es el segundo índice por lo que la dependencia de$\beta$es lo mismo pero el segundo elemento de la matriz es complejo conjugado por lo que la fase se cancela. De igual manera se puede verificar la cancelación de las otras cinco posibles fases y eso prueba la independencia sobre la base.