CP Violación de la Matriz CKM

El texto de Lumo puede haber sido un poco confuso pero es al revés: la posibilidad de redefinir las fases de los vectores conduce a una reducción de ángulos y fases independientes en la matriz CKM, pero todavía hay una fase compleja que no puede ser rotado.

Imagina que cambias las fases de los kets$u,c,t;d,s,b$por seis coeficientes multiplicativos, las exponenciales de$i$veces las seis primeras letras del alfabeto griego, por ejemplo

$$|u\rangle \to |u\rangle e^{-i\alpha}$$ y de manera similar para los otros cinco estados. Eso es equivalente a la siguiente redefinición de $V=V_{CKM}$: $$V \to \pmatrix { e^{i\alpha}&0&0\\ 0&e^{i\beta}&0\\ 0&0&e^{i\gamma} } V \pmatrix { e^{-i\delta}&0&0\\ 0&e^{-i\epsilon}&0\\ 0&0&e^{-i\zeta} }$$ Sin embargo, tenga en cuenta que si cambia todas estas seis letras griegas por la misma constante $$(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon,\zeta) \to (\alpha+\omega,\beta+\omega,\gamma+\omega,\delta+\omega,\epsilon+\omega,\zeta+\omega)$$ el producto de las 3 matrices en el lado derecho de arriba será simplemente $V$y $V$no cambiará. Entonces, sin pérdida de generalidad, puede establecer $\zeta=0$y solo hay 5 fases independientes de los vectores ket que pueden usarse para redefinir $V$.

Ahora,$V$es a priori un general$U(3)$matriz porque es una matriz de transición entre dos bases ortonormales del mismo espacio complejo tridimensional. Tal matriz puede ser descrita por 9 parámetros reales. ¿Por qué? Puede escribirse como$V=\exp(iH)$dónde$H$es una matriz hermítica general. Y una matriz hermitiana general tiene 9 parámetros reales independientes; literalmente la mitad de los 18 parámetros en el complejo$3\times 3$matriz. (Es el triángulo superior sobre la diagonal principal: los cuadrados que están completamente en él son independientes y complejos; las entradas en la diagonal tienen que ser reales, por lo que solo un parámetro real, y las casillas debajo de la diagonal están dadas por las que están arriba del diagonal debido a la condición de Hermiticidad.)

Entonces el espacio de lo a priori posible$U(3)$matrices$V$es de 9 dimensiones reales. Sin embargo, la redefinición de fase conduce a identificaciones en este espacio de 9 dimensiones de tal manera que cada elemento se identifica con un espacio de 5 dimensiones de valores físicamente equivalentes de la matriz$V$. Ahora, resta

$$9 - 5 = 4$$ y ves que el espacio de matrices físicamente no equivalentes $V$o el espacio de "clases de equivalencia" es de 4 dimensiones. Si obtuviéramos 3, probablemente significaría que la matriz se puede hacer real, un elemento de $SO(3)$, una rotación tridimensional, que depende de 3 ángulos. Sin embargo, obtuvimos 4 parámetros lo que significa que no podemos traer el general $U(3)$matriz $V$en una forma real por la redefinición de las fases de los seis vectores ket.

Esto significa que la matriz más general$V$todavía se debe permitir que sea una matriz compleja y no hay forma de hacer que las entradas sean reales sin cambiar la física. Ahora, hay varias formas de parametrizar la matriz más general$V$. Una de las entradas puede hacerse$r\exp(i\delta_{CP})$donde el exponencial es la fase de violación de CP.

Si repitiera el mismo ejercicio con 2 generaciones y no solo con 4, encontraría que la redefinición de las 4 (o 3) fases de los vectores ket para los quarks es suficiente para traer una general$U(2)$matriz en la forma real, es decir, en un elemento de$SO(2)$, y no habría ninguna infracción de CP. es porque un$U(2)$matriz tiene$4$parámetros reales y 3 de ellos pueden ser redefinidos por las fases, por lo que la diferencia es solo el único ángulo 1 en$SO(2)$. Entonces, tres generaciones es el número mínimo que permite la violación de CP.

Solo para estar seguro, un complejo$V$causa la violación de CP porque el tipo de complejo de simetría CP conjuga los campos en el Lagrangiano o, de manera equivalente, los parámetros en las matrices de masa. Entonces, si calcula alguna "medida típica de violación de CP", dependerá del ángulo$\delta_{CP}$arriba.