Invariancia de Lorentz de la carga eléctrica. (Gravitación y Cosmología por Weinberg)

Estaba leyendo el capítulo de Relatividad Especial del libro de Gravitación y Cosmología de Weinberg y me vendría bien un poco de ayuda para demostrar que la carga es un escalar de Lorentz.

6 Corrientes y Densidades
Supongamos que tenemos un sistema de partículas con posición$\,\mathbf x_{n}(t)\,$y cargos$\,e_{n}$. Las densidades de corriente y de carga se definen generalmente por

$$\begin{align} \mathbf J(\mathbf x,t) & \boldsymbol{\equiv} \sum\limits_{n} e_{n}\delta^3\left[\mathbf x\boldsymbol{-}\mathbf x_{n}(t)\right]\dfrac{\mathrm d \mathbf x_{n}(t)}{\mathrm d t} \tag{2.6.1}\label{2.6.1}\\ \boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf x,t) & \boldsymbol{\equiv} \sum \limits_{n} e_{n}\delta^3\left[\mathbf x\boldsymbol{-}\mathbf x_{n}(t)\right] \tag{2.6.2}\label{2.6.2} \end{align}$$ Aquí$\,\delta^3\,$es la función delta de Dirac, definida por la declaración de que para cualquier función suave$\,f(x)$, $$\begin{equation} \int\mathrm d^3 x f(\mathbf x)\delta^3\left(\mathbf x\boldsymbol{-}\mathbf y\right) \boldsymbol{=}f(\mathbf y) \nonumber \end{equation}$$ podemos unirnos$\,\mathbf J\,$y$\,\boldsymbol{\varepsilon}\,$en un cuatro vector$\,J^{\alpha}\,$configurando $$\begin{equation} J^{0}\boldsymbol{\equiv}\boldsymbol{\varepsilon} \tag{2.6.3}\label{2.6.3} \end{equation}$$ eso es $$\begin{equation} J^{\alpha}(x) \boldsymbol{\equiv} \sum\limits_{n} e_{n}\delta^3\left[\mathbf x\boldsymbol{-}\mathbf x_{n}(t)\right]\dfrac{\mathrm d x^{\alpha}_{n}(t)}{\mathrm d t} \tag{2.6.4}\label{2.6.4} \end{equation}$$
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También notamos que en el lenguaje de cuatro dimensiones $$\begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial x^{\alpha}}J^{\alpha}(x)\boldsymbol{=}0 \tag{2.6.6}\label{2.6.6} \end{equation}$$ La invariancia de Lorentz de esta afirmación es evidente.
Siempre que haya corriente$\,J^{\alpha}(x)\,$satisface la ley de conservación invariante $\eqref{2.6.6}$, podemos formar una carga total $$\begin{equation} Q\boldsymbol{\equiv} \int\mathrm d^3 x J^{0}(x) \tag{2.6.7}\label{2.6.7} \end{equation}$$ Esta cantidad es independiente del tiempo, porque $\eqref{2.6.6}$y el teorema de Gauss dan $$\begin{equation} \dfrac{\mathrm d Q}{\mathrm d t}\boldsymbol{=} \int\mathrm d^3 x \dfrac{\partial}{\partial x^{0}} J^{0}(x)\boldsymbol{=}\boldsymbol{-} \int\mathrm d^3 x \boldsymbol{\nabla\cdot}\mathbf J(x) \boldsymbol{=} 0 \nonumber \end{equation}$$ Si$\,J^{\alpha}(x)\,$es un cuatro vector,$\,Q\,$no solo es constante sino un escalar. Para ver esto escribe$\,Q\,$como $$\begin{equation} Q\boldsymbol{=}\int \mathrm d^4 x J^{\alpha}(x)\partial_{\alpha}\theta(n_{\beta}x^{\beta}) \tag{2.6.8}\label{2.6.8} \end{equation}$$ dónde$\,\theta\,$es la función de paso $$\begin{equation} \theta(s)\boldsymbol{=} \begin{cases} 1\quad s>0\\ 0\quad s<0 \end{cases} \nonumber \end{equation}$$ y$\,n_{\lambda}\,$es definido por $$\begin{equation} n_{1}\boldsymbol{\equiv}n_{2}\boldsymbol{\equiv}n_{3}\boldsymbol{\equiv}0,\quad n_{0}\boldsymbol{\equiv}\boldsymbol{+}1 \nonumber \end{equation}$$ El efecto de una transformación de Lorentz en$\,Q\,$es entonces evidentemente simplemente cambiar$\,n\,$: $$\begin{equation} Q'\boldsymbol{=}\int \mathrm d^4 x J^{\alpha}(x)\partial_{\alpha}\theta(n'_{\beta}x^{\beta}) \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} n'_{\beta}\boldsymbol{\equiv}\Lambda^{\gamma}_{\hphantom{\gamma}\beta}n_{\gamma} \nonumber \end{equation}$$ y usando $\eqref{2.6.6}$, el cambio en$\,Q\,$es entonces $$\begin{equation} Q'\boldsymbol{-}Q\boldsymbol{=}\int \mathrm d^4 x \partial_{\alpha} \left[J^{\alpha}(x)\{\theta(n'_{\beta}x^{\beta})\boldsymbol{-}\theta(n_{\beta}x^{\beta})\}\right] \nonumber \end{equation}$$ La corriente$\,J^{\alpha}(x)\,$se puede suponer que desaparece si$\,\vert\mathbf x\vert\longrightarrow \boldsymbol{+}\infty\,$con$\,t\,$fijo. Mientras que la función$θ(n′_β x^β)−θ(n_β x^β)$desaparece como |t|⟶+∞ con x fijo. Por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Gauss de cuatro dimensiones y encontrar$\,Q'\boldsymbol{-}Q\boldsymbol{=}0$; eso es,$\,Q\,$es un escalar.
(Para la densidad de corriente$\,J^{0}\,$definido por $\eqref{2.6.2}$la carga $\eqref{2.6.7}$es $$\begin{equation} Q\boldsymbol{=}\sum\limits_{n}e_{n} \nonumber \end{equation}$$ que por supuesto es un escalar constante; sin embargo, al tratar con las distribuciones de carga y corriente de partículas extendidas, es importante darse cuenta de que $\eqref{2.6.7}$define un escalar independiente del tiempo para cualquier cuatro vectores conservados$\,J^{\alpha}$.)

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Tengo problemas para entender la parte donde dice "el efecto de una transformación de Lorentz en Q es simplemente cambiar$n$." Sé que el producto escalar entre un vector covariante y contravariante es un escalar de Lorentz. Entonces, el producto escalar de la densidad de corriente y la función derivada parcial es un escalar de Lorentz. Pero, ¿por qué cambiar$n$a$n'$? El término dentro de la función escalonada también tiene la forma de un producto escalar entre un vector covariante y contravariante. entonces, ¿no debería ser un escalar de Lorentz? Si el elemento de volumen también es invariable, ¿no podemos decir de inmediato que la carga es un escalar de Lorentz?

{Y en la ecuación de$Q'-Q$, ¿cómo entró el vector de densidad de corriente dentro de la función derivada parcial?.}