¿Por qué la carga es invariante de Lorentz pero la masa relativista no?

Tomando sus preguntas un poco fuera de orden:

[Carga] es invariable debido a nuestra definición de carga? ¿Podemos explicar este fenómeno sin el resultado de los experimentos?

Eso depende de su definición exacta de "carga". Para mí personalmente, bajo la conceptualización más natural de "carga", la respuesta a ambas preguntas es no, y la invariancia de Lorentz de carga es un resultado puramente empírico. Otros físicos podrían responder de manera diferente.

¿Cuál es el significado profundo de esto? ¿Podemos conectar esto con una física fundamental?

Sí. Un hecho notable de la física es que la ley no relativista de Coulomb y la ley de la gravitación universal de Newton son prácticamente idénticas desde el punto de vista matemático (la única diferencia real es que la carga eléctrica puede tener cualquier signo, pero generalmente solo consideramos masas positivas), pero sus generalizaciones relativistas son muy diferentes (electromagnetismo clásico y relatividad general, respectivamente). Esto significa que hay dos formas diferentes completamente consistentes de generalizar la ley no relativista en una ley relativista. Básicamente, la única diferencia es si elige que la "carga" sea relativistamente invariante o no.

Empíricamente, la carga de una partícula puntual es un escalar de Lorentz , lo que significa que es relativistamente invariante y la misma en todos los marcos de Lorentz. Para un fluido continuo cargado, la densidad de carga$\rho$es el$0$-componente de un cuadrivector relativista$J^\mu := (\rho, {\bf J})$. En términos muy generales, el número de índices de Lorentz (uno, en este caso) le dice cuántos factores del factor de Lorentz$\gamma$adquieres bajo los impulsos de Lorentz. La densidad de carga eléctrica tiene la forma esquemática (carga/volumen) = (carga/(longitud en dirección impulsada)$\times$(área transversal transversal a la dirección reforzada)). Las partes de "carga" y "área transversal" no cambian bajo un impulso de Lorentz, pero la parte "1/(longitud en la dirección aumentada)" sí lo hace y adquiere un factor de$\gamma$debido a la contracción de la longitud, por lo que hay un factor de$\gamma$general.

Pero la "masa relativista" de una partícula puntual (mejor pensada como su energía total, masa en reposo + energía cinética), es la$0$-componente de un cuatro impulso relativista$p^\mu := (E, {\bf p})$, por lo que toma un factor de$\gamma$bajo impulsos de Lorentz. Para un fluido continuo, que en GR es un concepto más natural que las partículas puntuales, tenemos que la "densidad de masa/energía" se transforma como la$00$componente de un tensor de tensión-energía$T^{\mu \nu}$con dos índices de Lorentz. Esto se debe a que la densidad de energía tiene la forma esquemática (energía/volumen) = (energía/(longitud en la dirección impulsada)$\times$(área de la sección transversal transversal a la dirección impulsada)), y tanto la energía o "masa relativista" como la 1/(longitud en la dirección impulsada) toman un factor de$\gamma$bajo impulsos de Lorentz, por lo que hay dos factores de$\gamma$en total.

Entonces, hay dos formas diferentes de generalizar la forma matemática de la ley de Coulomb para hacerla relativista. Si elige hacerlo de tal manera que la carga sea invariante de Lorentz, naturalmente obtiene el electromagnetismo clásico. Si elige hacerlo de tal manera que el "cargo" adquiera un factor de$\gamma$bajo los impulsos de Lorentz, naturalmente obtienes la relatividad general. Sorprendentemente, ambas opciones surgen en la naturaleza.

Sin embargo, no puedo entender completamente la invariancia de los cargos. ¿Cuál es el significado profundo de esto? ¿Es la invariancia debido a nuestra definición de carga?

La carga eléctrica se cuantifica a través de sus efectos de fuerza.

Antes de la relatividad , se creía que cada fuerza tenía el mismo valor en todos los marcos de inercia. Suponiendo esto, consideremos dos cuerpos cargados con cargas$q_1$,$q_2$. Ambos están en reposo separados por una distancia.$r_{21}=|\mathbf r_2-\mathbf r_1|$, y$\mathbf r_{21} = \mathbf r_2-\mathbf r_1$. La ley de Coulomb establece que la fuerza debida a la carga$q_1$en el cargo$q_2$es

En la teoría relativista , el argumento anterior no funciona, porque la fórmula de Coulomb no es válida en todos los marcos. Así que se debe encontrar un nuevo argumento. Las fórmulas relativistas para la fuerza eléctrica entre dos cargas en movimiento son más complicadas que la fórmula de Coulomb anterior y puede ser difícil inferir la invariancia de carga usando el mismo método. Afortunadamente, hay otra manera.

Un argumento que parece funcionar se basa en la conservación local de la carga eléctrica. Además del efecto de la fuerza, la carga eléctrica también tiene la importante propiedad de que no aparece ni desaparece repentinamente, sino que cualquier cambio de carga neta en una región del espacio se debe a su transporte continuo a través del límite de la región. La conservación local de la carga está implícita en las ecuaciones de Maxwell y nunca se observó ni confirmó ninguna violación. Pero si la carga de un cuerpo disminuye o aumenta sin ningún transporte de carga dentro o fuera del cuerpo, la carga neta en una región espacial adecuadamente elegida estaría violando la ley de conservación cada vez que acelera o desacelera.

Una derivación más formal:

Dejar$\rho$ser la densidad de carga eléctrica de un cuerpo cargado,$\mathbf j$densidad de corriente eléctrica y$V$volumen de una región fija en el espacio cuyo límite es$\Sigma$; deje que las densidades sean continuas a través del límite.

La ley de conservación local de la carga establece que cualquier cambio de carga dentro del volumen$V$se debe a la corriente eléctrica en el límite de la región:

Usemos una región tal que$\mathbf j$desaparece en su límite. Entonces nosotros tenemos

Esta ecuación por sí sola no significa que la carga neta en esa región sea la misma en todos los marcos de inercia. Sin embargo, significa que, independientemente de lo que hagan las cargas (pueden acelerarse o ralentizarse), la carga total en la región sigue siendo la misma. Si solo hay un cuerpo cargado y acelera debido a una fuerza externa, la ecuación anterior implica que la carga total en la región no cambia. En otras palabras, la velocidad del objeto cargado no tiene efecto sobre su carga total.

Con ese conocimiento, es natural usar el mismo valor de carga del objeto en todos los marcos de inercia.

Para la masa relativista de una región (energía neta interior dividida por$c^2$), parece que se podría usar el mismo argumento para concluir que la masa relativista de un cuerpo es la misma independientemente de su velocidad, pero esa es una conclusión falsa. Así que el argumento no funciona en ese caso. ¿Por qué no?

Aunque la ecuación de la conservación local de la energía es la misma que la de la conservación de la carga:

Este problema no surgió con la carga, porque es posible acelerar el cuerpo cargado sin que haya otra carga presente dentro del límite y sin ningún intercambio de carga a través del límite; solo use el campo externo.

Deje las siguientes 4 hipótesis sobre el campo electromagnético en el espacio vacío:

$\:\color{blue}{\mathbf{A}}.\:\:$Invariancia de carga.

$\:\color{blue}{\mathbf{B}}.\:\:$Covarianza (invariancia de forma) de las ecuaciones de Maxwell.

$\:\color{blue}{\mathbf{C}}.\:\:$Covarianza (invariancia de forma) de la ecuación de fuerza de Lorentz.

$\:\color{blue}{\mathbf{D}}.\:\:$La densidad de corriente de carga 4 es un vector de Lorentz 4.

Entonces

1. Suponiendo invariancia de carga ($\color{blue}{\mathbf{A}}$) y covarianza de la fuerza de Lorentz ($\color{blue}{\mathbf{C}}$) se pudo probar la covarianza de las ecuaciones de Maxwell ($\color{blue}{\mathbf{B}}$).
2. Suponiendo invariancia de carga ($\color{blue}{\mathbf{A}}$) podría probarse que la densidad de 4 corrientes es un 4 vector de Lorentz ($\color{blue}{\mathbf{D}}$) e inversamente
3. Suponiendo que la densidad de 4 corrientes es un vector de 4 Lorentz ($\color{blue}{\mathbf{D}}$) se pudo probar la Invariancia de Carga ($\color{blue}{\mathbf{A}}$).
4. Asumiendo la covarianza de las ecuaciones de Maxwell ($\color{blue}{\mathbf{B}}$) podría probarse que la densidad de 4 corrientes es un 4 vector de Lorentz ($\color{blue}{\mathbf{D}}$).

Referencias :

1. $\:\color{red}{\bf Classical\: Electrodynamics}$[Jackson], 3ª edición.

$\qquad$$\S$11.9 Invariancia de la Carga Eléctrica; Covarianza de la electrodinámica

$\quad$Lorentz y Poincaré demostraron la invariancia de forma de las ecuaciones de la electrodinámica bajo transformaciones de Lorentz antes de la formulación de la teoría especial de la relatividad. Esta invariancia de forma o covarianza de las ecuaciones de fuerza de Maxwell y Lorentz implica que las diversas cantidades$\:\rho, \mathbf{J},\mathbf{E},\mathbf{B}\:$que entran en estas ecuaciones se transforman en formas bien definidas bajo transformaciones de Lorentz. Entonces los términos de las ecuaciones pueden tener un comportamiento consistente bajo transformaciones de Lorentz.

$\quad$La invariancia experimental de la carga eléctrica y el requisito de la covarianza de Lorentz de la ecuación de fuerza de Lorentz (11.125) y (11.126) determina las propiedades de transformación de Lorentz del campo electromagnético.

2. (a)$\:\color{red}{\bf Classical\: Electrodynamics}$[Jackson], 3ª edición.

$\qquad\quad\:$$\S$11.9 Invariancia de la Carga Eléctrica; Covarianza de la electrodinámica

$\quad$Eso$\:J^{\alpha}\:$es un 4-vector legítimo que se deduce de la invariancia de la carga eléctrica.

$\qquad$(b)$\:\color{red}{\bf The\: Classical\: Theory\: of\: Fields}$, [Landau-Lifshitz], cuarta edición inglesa revisada.

$\qquad\quad\:\:$$\S$28 El vector de corriente de cuatro dimensiones .

3. ¿Cómo podemos probar la invariancia de carga bajo la Transformación de Lorentz? , la respuesta aceptada.

4. ¿Cómo probamos que jμ de 4 corrientes se transforma como xμ bajo la transformación de Lorentz? , RESPUESTA B.

La masa relativista es un concepto obsoleto. La masa, definida como la energía en el marco de reposo, o como la longitud 3+1D del momento de la energía de la partícula, es invariable. La carga total, la integral de volumen de la distribución de carga, es invariante de Lorentz.