¿Es esta una prueba válida de que la corriente de cuatro se conserva?

Una forma "kosher" de hacer esto emplea funciones de prueba . Considere una función de prueba$\phi:\mathbb R^4\to \mathbb R$. Darse cuenta de

$$\begin{align} \int_{\mathbb R^4} d^4 x\, \partial_\mu j^\mu(x) \phi(x) &= ec\int_{-\infty}^{\infty} ds\,u^\mu(s)\int_{\mathbb R^4} d^4x\,\partial_\mu\delta^4(x - X(s))\phi(x) \\ &= -ec\int_{-\infty}^{\infty} ds\, u^\mu(s)\int_{\mathbb R^4} d^4 x\,\delta^4(x-X(s))\partial_\mu\phi(x) \\ &= -ec \int_{-\infty}^{\infty} ds\, u^\mu(s)\partial_\mu\phi(X(s)) \\ &= -ec\int_{-\infty}^{\infty} ds \frac{d}{ds}\phi(X(s)) \\ &= -ec \left[\lim_{s\to\infty}\phi(X(s))-\lim_{s\to-\infty}\phi(X(s))\right] \end{align}$$ Ahora bien, si suponemos que $$\begin{align} \lim_{s\to\pm\infty}|X(s)|\to\infty \end{align}$$ es decir, que la partícula comienza y termina en el infinito, entonces, dado que, por definición, las funciones de prueba se anulan en el infinito, encontramos que $$\begin{align} \int_{\mathbb R^4} d^4 x\, \partial_\mu j^\mu(x) \phi(x) = 0 \end{align}$$ para todas las funciones de prueba $\phi$, y por lo tanto, por definición $$\begin{align} \partial_\mu j^\mu = 0 \end{align}$$ en el sentido de distribuciones.