Invariancia CPT de la ecuación de Dirac

Para mostrar esto, averigüe cómo las transformaciones$C, P, T$actuar sobre cada elemento de la ecuación individualmente.

Presta especial atención a$C$. ¡Eso es complicado! Para empezar en C, puede consultar esta publicación de física SE.

Aquí hay una forma engañosa de mostrar que la representación de Dirac es invariante bajo transformaciones C, P, T. La teoría de Dirac libre se refiere a la suma directa$\left( 0 , \frac{1}{2}\right) \oplus \left( \frac{1}{2}, 0 \right)$de las representaciones espinoricas irreducibles del grupo de Lorentz. Como puede verse, la representación$\left(\frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) \oplus \left(\frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$siempre es invariante bajo las transformaciones C, P, T. Así que no necesitas encontrar la forma explícita de$C, P, T$-matrices para la teoría de Dirac si se conoce la representación espinorial del grupo de Lorentz.

La demostración breve de la invariancia de $\left( \frac{m}{2} , \frac{n}{2}\right) \oplus \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2} \right)$ bajo transformaciones discretas del grupo de Lorentz

La prueba, por supuesto, es muy formal. En pocas palabras,

La representación de espinor del grupo de Lorentz involucra dos operadores de Casimir,

$$C_{1} = M_{ab}M^{ab}, \quad C_{2} = M^{\dot {a} \dot {b}}M_{\dot b \dot a}.$$ Aquí los generadores de representación spinor de Lorentz $M_{ab}, M_{\dot a \dot b}$están conectados con $M_{\mu \nu}$(el vector generador del grupo de Lorentz) por la relación definida (aquí no es importante cuál es exactamente esta relación): $$\tag 1 C_{1}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) = -\frac{n(n + 2)}{2}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right),$$ $$\tag 2 C_{2}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) = -\frac{m(m + 2)}{2}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right).$$ Entonces podemos introducir los operadores generales de $T, P, C$-inversión por sus (anti)conmutadores con el $M_{ab}, M_{\dot {a}, \dot {b}}$(lo cual puede ser hecho por sus claros (anti)conmutadores con $M_{\mu \nu}$). Finalmente, $$\hat{T}C_{1} = C_{2}\hat {T}, \quad \hat {P}C_{1} = C_{2}\hat {P}, \hat {T}C_{2} = C_{1}\hat {T}, \quad \hat {P}C_{2} = C_{1}\hat {P}.$$ y similares para $C$-inversión.

Entonces, al actuar sobre$(1)$,$(2)$por$C, P$o$T$operadores, obtendremos (por ejemplo, por$\hat {P}$)

$$\tag 3 C_{1}\hat {P}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) =-\frac{m(m + 2)}{2}\hat {P}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right),$$ $$\tag 4 C_{2}\hat {P}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) =-\frac{n(n + 2)}{2}\hat {P}\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right).$$ Así vemos, que $\hat {P}$actuando $\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$lo cambia a $\left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$, por lo que en general (excepto en el caso $m = n$) $\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$no es invariante bajo $C, P, T$-transformaciones. Pero la suma directa $\left( 0 , \frac{1}{2}\right) \oplus \left( \frac{1}{2}, 0 \right)$(en particular) es invariante, porque $$\hat {P}\left(\left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) \oplus \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) \right) = \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) \oplus \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$ (nada ha cambiado).