¿Cómo probar (γμ)†=γ0γμγ0(γμ)†=γ0γμγ0(\gamma^\mu)^\dagger=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0?

Estudiar los conceptos básicos de spin- 1 2 QFT, encontré las matrices gamma. Una propiedad importante es ( γ 5 ) † = γ 5 , la hermicidad de γ 5 . Después de buscar un poco, me topé con esta interesante respuesta de Phys.SE a una pregunta anterior en este foro. Específicamente, estoy interesado en la fórmula.

( γ m ) † = γ 0 γ m γ 0
que se menciona pero no se prueba. Después de consultar a un miembro de la facultad de mi universidad, reconstruí que la prueba debe basarse de alguna manera en el hecho de que el ( γ m ) † también obedecer el álgebra de Clifford:
{ ( γ m ) † , ( γ v ) † } = − 2 η m v
{ γ m , γ v } = − 2 η m v
(para mayor claridad, estoy usando − + + + firma para la métrica de Minkowski). Esto debería implicar que hay alguna transformación de similitud que relaciona los dos, pero no estoy muy versado en la teoría de grupos. Supongo que de alguna manera debería resultar que la matriz que actúa para transformar las dos representaciones de este álgebra entre sí es γ 0 , que es igual a su inversa γ 0 = ( γ 0 ) − 1 , como se puede ver inmediatamente al tomar m = v = 0 en el álgebra de Clifford. Entonces, la transformada de similitud está en la forma correcta:

( γ m ) † = S γ m S − 1 = γ 0 γ m γ 0

Tengo la sensación de que tengo la mayoría de los ingredientes necesarios. Sin embargo, parece que no puedo hacer que este argumento sea explícito y claro (debido a mi falta de conocimiento adecuado de la teoría de grupos). podria alguien ayudarme? Sería muy apreciado.

EDITAR: estoy buscando una respuesta que no se base en el uso de una representación particular de las matrices gamma.

¿Qué tal probarlo usando algún tipo de representación para las matrices gamma? ¿Sería lo suficientemente bueno para ti?
No, eso no sería suficiente para mí. Sé que aparentemente se puede probar que todas las representaciones del álgebra de Clifford están relacionadas por transformaciones de similitud unitaria, y que estas conservan la hermiticidad, dándote el resultado completo si puedes probarlo para una representación. Sin embargo, es claramente mucho más elegante no recurrir a elegir una representación en particular, ¡y sé que también debería ser posible de esta manera!
Utilice el hecho de que las matrices Gamma son todas unitarias, es decir ( γ m ) † = ( γ m ) − 1 (pueden elegirse así ya que forman una representación de un grupo finito). Ahora usando este hecho junto con las relaciones de conmutación encontramos que ( γ 0 ) † = γ 0 y ( γ i ) † = − γ i . Nuevamente usando las relaciones de conmutación tenemos γ 0 γ i γ 0 = − γ i = ( γ i ) † . También γ 0 γ 0 γ 0 = γ 0 = ( γ 0 ) †
¿Podría señalarme una referencia donde podría aprender por qué es cierto que una representación de un grupo finito puede elegirse para que consista en elementos unitarios?
La prueba de que cualquier representación de dimensión finita de un grupo finito puede elegirse como unitaria no es difícil. Dejar V ser una representación compleja de dimensión finita de un grupo finito GRAMO . Sea ( , ) cualquier producto hermitiano sobre V . Defina un nuevo producto hermitiano como ( X , y ) ′ = ∑ gramo ∈ GRAMO ( gramo X , gramo y ) . Para ver que el nuevo producto es unitario tenga en cuenta que para cualquier h ∈ GRAMO , ( h X , y ) ′ = ∑ gramo ∈ GRAMO ( gramo h X , gramo y ) = ∑ gramo ∈ GRAMO ( gramo h X , gramo h h − 1 y ) = ( X , h − 1 y ) ′ .
Puedes mirar cualquiera de las referencias mencionadas en este post
@ user10001 Las matrices gamma generan una representación de un álgebra de Clifford, no un grupo finito, por lo que no estoy convencido.
@joshphysics: hay un grupo multiplicativo finito contenido en el álgebra de Clifford generado por matrices gamma. Por ejemplo en dos dimensiones y con métrica de firma (1,1), este grupo consta de elementos 1 , − 1 , γ 0 , − γ 0 , γ 1 , − γ 1 , γ 0 γ 1 y − γ 0 γ 1 = γ 1 γ 0 .
@ user10001 ¡Ah, interesante! Gracias por la aclaración.

Respuestas (2)

¿Qué tal probar los dos casos diferentes?

es decir, si m ≠ 0 entonces el LHS se convierte en

(vea abajo) ( γ m ) † = ( γ i ) † = − γ i
mientras que el RHS se convierte en

( γ m ) † = γ 0 γ i γ 0 = − γ 0 γ 0 γ i = − γ i                 ( OK ) .

Para m = 0 , el caso es trivial.

EDITAR: debido al comentario del OP, agregaré lo siguiente a la respuesta:

Las propiedades de las matrices gamma se pueden derivar de las propiedades de las α → , β -matrices. Algunas de las propiedades de la α → , β se les imponen matrices motivadas por argumentos físicos, de modo que el hamiltoniano de Dirac debe ser hermitiano lo que implica α → , β hermitiano, etc.

Darse cuenta de

γ m := ( β , β α → ) .

Por ejemplo:

(QED) ( γ i ) † = ( β α i ) † = ( α i ) † β † = α i β = − β α i = − γ i

Consulte la página 10 de este PDF para obtener más información sobre la ecuación de Dirac, o consulte el antiguo libro "Quarks and Leptons..." de Halzen y Martin.

Consulte también la página wiki a continuación: http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices#Normalization

No creo que sea fácil probar eso. ( γ i ) † = − γ i sin acudir a una representación concreta. ¿Puedes mostrar esto? La razón por la que me quedé atascado tratando de mostrar la hermicidad de γ 5 yo mismo en primer lugar es porque no pude. La discusión en la pregunta vinculada también parece indicar que no es posible.
esa pagina 10 de pdf halzen martin ya no existe.

Una respuesta parcial es que suponiendo las matrices gamma, block-diagonal , como ( A ϵ A ) , ( A ϵ A ) , dónde A es hermitiano o antihermitiano, y ϵ = ± 1 , dar restricciones en A y ϵ debido a ( γ 0 ) 2 = yo d 4 , ( γ i ) 2 = − yo d 4 .

Por ejemplo, si γ 0 = ( A ϵ A ) , después ( γ 0 ) 2 = ( ϵ A 2 ϵ A 2 ) .

Así que si A es hermitiano, podemos elegir A tal A 2 = A A † = A † A = yo d 2 , y ϵ = 1

Si A es anti-ermitiano, podemos elegir A tal A 2 = − A A † = − A † A = − yo d 2 , y ϵ = − 1

En los dos casos, es fácil ver que γ 0 es hermético.

Entonces, con la hipótesis anterior sobre las matrices gamma, es fácil ver que γ 0 es hermitiano y el γ i son anti-ermitaños.

Ahora con las relaciones anti-conmutación γ 0 γ i + γ i γ 0 = 0 , tú tienes γ i = − γ 0 γ i γ 0 (recordando que ( γ 0 ) 2 = yo d 4 ), así que tienes ( γ i ) † = − γ i = γ 0 γ i γ 0 , y obviamente tienes ( γ 0 ) † = γ 0 = γ 0 γ 0 γ 0

¡Buen tren de pensamiento! Sin embargo, me gustaría abstenerme de elegir cualquier representación. La respuesta descrita por el usuario 10001 en los comentarios a la pregunta original hace lo que estaba buscando.
¿Cómo probar (γμ)†=γ0γμγ0(γμ)†=γ0γμγ0(\gamma^\mu)^\dagger=\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0?
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