Intuiciones contradictorias sobre la caída libre

El problema conceptual es equilibrar fuerzas, cuando requiere equilibrar momentos. Por supuesto:

$$F = \frac{dp}{dt}$$

La fuerza gravitatoria es de hecho constante, por lo que después de caer por un tiempo$t$:

$$p = \int_0^t F(t')dt'=F\int_0^t dt'=Ft$$

Necesita aplicar una fuerza a la caja que le dé un impulso (el producto de la fuerza por el tiempo) de$-p$.

La razón por la que está confundido es que está confundiendo una serie de conceptos.

Sí, la gravedad es la única fuerza que actúa sobre el hombre mientras cae, por lo que una fuerza igual y opuesta a la gravedad es suficiente para contrarrestar la fuerza de la gravedad. Eso sucede cuando estás parado en el suelo, por ejemplo, cuando la reacción del suelo impide que la gravedad te acelere hacia abajo.

Sin embargo, contrarrestar la fuerza de la gravedad simplemente significa que detiene cualquier aceleración adicional, no detiene el cuerpo si ya se está moviendo hacia abajo. Un paracaídas actúa de esa manera, brindando una resistencia que contrarresta completamente la gravedad, dejando que el cuerpo se desplace hacia abajo a una velocidad fija.

Sin embargo, detener una mayor aceleración hacia abajo es un requisito completamente diferente a detener el movimiento hacia abajo existente, esa es la raíz de sus conceptos erróneos. Para eso necesitas una fuerza adicional hacia arriba.

La fuerza adicional requerida para restablecer la velocidad del hombre a cero depende de cuánto tiempo esté dispuesto a esperar. El puenting ilustra este punto. La cuerda elástica se estira hasta el punto en que contrarresta la gravedad y la velocidad del saltador deja de aumentar; a partir de entonces, la cuerda continúa estirándose y aplicando una fuerza creciente hacia arriba para detener al saltador. Al disponer de una cuerda más o menos elástica se puede cambiar el tiempo, y por tanto la distancia, sobre la que se detiene la caída del saltador.

Verá, por lo tanto, que contrarrestar la fuerza de la gravedad con una fuerza hacia arriba igual y opuesta solo es suficiente para detener cualquier aumento adicional en la velocidad hacia abajo; no reduce la velocidad hacia abajo.

Finalmente, si el hombre fuera a empujar la caja, solo podría hacerlo por un momento saltando hacia arriba. Una vez que hubiera perdido el contacto, continuaría acelerando hacia abajo a 1g. El efecto de su salto sería en parte acelerar la caja hacia abajo, en lugar de impulsarse hacia arriba. Para restaurar su velocidad a cero, la fuerza momentánea que tendría que aplicar con sus piernas a la caja sería aún mayor que la fuerza que tendría que aplicar simplemente golpeando el suelo; en cualquier caso, a cualquier velocidad significativa, la fuerza sería enormemente mayor que cualquier cosa que un cuerpo humano pudiera generar o soportar.

Es importante tener en cuenta la distinción entre fuerzas impulsivas y fuerzas constantes. Una fuerza impulsiva es aquella que actúa brevemente sobre un cuerpo, cambiando su estado de movimiento durante un tiempo breve, en lugar de una fuerza constante y continua. Una fuerza no impulsiva es como la fuerza gravitacional sobre un objeto, pero una fuerza impulsiva puede ser una que ocurre durante una colisión con otro objeto.

En este ejemplo, la fuerza que requiere el hombre para detenerse (fuerza impulsiva que equivale al cambio en el momento necesario en el momento del impacto) aumenta al aumentar la altura, y la fuerza de la gravedad produce una aceleración constante.

$$g=\frac{F_g}{m}$$ dónde$F_g$es la fuerza (constante) de la gravedad.

Si el hombre está en caída libre desde la distancia$h$entonces en el instante en que golpea el suelo, tendrá una velocidad dada por

$$\frac{1}{2}mv^2=mgh$$ o $$v=\sqrt {2gh}$$ lo que significa que la altura$h$cae es lo que determina esta velocidad final. Es decir, aunque esté siendo acelerado por una fuerza constante, será la altura la que determine esta velocidad.

si el hombre tiene masa$m$, entonces, en el instante anterior al impacto, tiene una cantidad de movimiento de

$$p_b=m\sqrt {2gh}$$ Esto requerirá un impulso $$F\Delta t=m\sqrt {2gh}=p_a$$ dónde$\Delta t$es el tiempo que tarda en detenerse. Tenga en cuenta que $$\vec p_b+\vec p_a=0$$ o $$\vec p_b=-\vec p_a$$ El impulso aumenta al aumentar la altura, aunque la fuerza gravitacional permanece constante.

La clave aquí es el impulso. Cuanto más tiempo esté en caída libre, mayor será su impulso descendente. Después de golpear el suelo, su impulso será 0 por alguna combinación de empujar la caja y golpear el suelo.

Di que puedes darte a ti mismo$10 \frac{kg \cdot m}{s}$de impulso ascendente cuando saltas de una caja en caída libre. Si su impulso descendente es$100 \frac{kg \cdot m}{s}$de caer, todavía golpearás el suelo con$90 \frac{kg \cdot m}{s}$de impulso El impulso con el que golpeas el suelo (y la suavidad de la superficie) determina el impacto en tu cuerpo.

Del teorema trabajo/energía cinética, el sujeto que cae tiene que hacer suficiente trabajo para contrarrestar su energía cinética cuando llega a la caja. Esto lleva a la ecuación

$W=\frac{1}{2}mv^2$

Usando la conservación de la energía y suponiendo que el tipo comenzó a caer desde el reposo, se ve que

$mgh=\frac{1}{2}mv^2$

dónde$h$es su altura inicial sobre la caja en la que va a aterrizar. Dado que el trabajo se define como el producto de la fuerza por la distancia, esto conduce a lo siguiente:

$W=Fd=\frac{1}{2}mv^2=mgh$

dónde$d$es la distancia de frenado del tipo. Suponiendo que esta distancia de frenado sea constante (una buena suposición), esto lleva inmediatamente a la relación entre la fuerza de frenado y la altura de caída.

$Fd=mgh$

$F=\frac{mgh}{d}$

Esto quiere decir que la fuerza que el tipo tiene que aplicar a la caja es directamente proporcional a la altura desde la que cayó, porque$m$,$g$, y$d$son todos constantes.