Intuición física detrás de por qué J^2J^2\hat{J}^2 y J^zJ^z\hat{J}_z se desplazan

La intuición física (de por qué el conmutador

$$[\hat{J}_z,\hat{J}^2]~=~0\tag{1}$$ desaparecer) es (como escribe Townsend) que $\hat{J}_z$es el generador de rotaciones alrededor del $z$-eje. Pero el cuadrado del momento angular $$\hat{J}^2~=~e^{i\phi \hat{J}_z}\hat{J}^2e^{-i\phi \hat{J}_z}\tag{2}$$ no se cambia por una rotación $\phi$. Expansión de Taylor de la ec. (2) alrededor $\phi=0$conduce a la ec. (1).

Las rotaciones son una transformación de simetría en la teoría de grupos. Los escalares son cualquier cantidad que es invariante bajo rotaciones. En notación matemática eso es

$$\phi \rightarrow \phi$$ Los vectores son cantidades que se transforman usando una matriz de rotación. Entonces, bajo una matriz de rotación, un vector se transforma como $$x_i \rightarrow \sum_{j=1}^N R_{ij}\, x_j.$$ Tanto los escalares como los vectores son ejemplos de objetos llamados tensores. Clasificamos los tensores por lo que llamamos su "rango", donde el rango es el número de matrices de rotación que se necesitan para transformarlos. Entonces, el tensor de inercia , que es de rango dos, toma dos matrices de rotación $$I_{ij} \rightarrow \sum_{n,m=1}^N R_{in} R_{jm} I_{nm}.$$

Es importante comprender que la definición de rotaciones es que conservan la longitud de los vectores. Entonces, la longitud de cualquier cantidad vectorial es, por definición, escalar. Combine eso con el hecho de que puede sumar o multiplicar escalares para obtener nuevos escalares, y$\vec{J}^2$se convierte en un escalar.

Estas definiciones también son ciertas en la mecánica cuántica, cuando las cantidades físicas se promueven a los operadores. Entonces,$\hat{x}^2 + \hat{y}^2 + \hat{z}^2$también será invariante en rotación, al igual que$\hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 + \hat{p}_z^2$. Sin embargo, ningún componente vectorial individual será invariante bajo todas las rotaciones posibles.

Curiosamente, aunque no puedo pensar en un ejemplo donde se use,$\hat{J}_z$siempre viajará con el$z$-componentes de cualquier operador vectorial - porque las rotaciones alrededor del$z$-eje dejar el$z$-componentes de vectores invariantes.

Algunos aspectos de la teoría del momento angular cuántico están estrechamente relacionados con la teoría del momento angular clásico .

Para ver esto y conectar con el lenguaje de tu ejemplo específico, imagina que hacemos una rotación sobre$\hat z$. Esta rotación se realiza a través de la matriz.

$$\begin{align} R_z(\alpha)&=\left(\begin{array}{ccc} \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)&0\\ \sin(\alpha)&\cos(\alpha)&0\\ 0&0&1\end{array}\right)\, ,\\ &=e^{-i\alpha J_z}=\sum_{k} \frac{(-i \alpha)^k}{k!} J_z^k\, , \qquad J_z=\left(\begin{array}{ccc} 0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)\, . \end{align}$$ Puedes hacer lo mismo para obtener $J_y$y $J_x$. Si lo haces, encontrarás que $J_z^2+J_y^2+J_x^2$es en realidad proporcional a la matriz unitaria $\hat 1$, que conmuta con cualquier componente del momento angular. Esto simplemente refleja el hecho de que la longitud de un vector no cambia con la rotación. Nótese también que las matrices para $J_z,J_x$y $J_y$no conmutar como matrices; por supuesto, los operadores correspondientes tampoco conmutan como operadores.

Por lo tanto, en general esperamos de los argumentos de la física clásica que, si$\hat J^2$debe estar conectado a la longitud al cuadrado del vector de momento angular$J^2$, conmutará con cualquier generador de rotación$\hat J_k$: esta es solo la versión cuántica del resultado clásico.

Dos operadores se pueden medir "simultáneamente" cuando tienen vectores propios simultáneos. Citando de “La interpretación de la Mecánica Cuántica” de Roland Omnes:

Las matemáticas nos dicen que, cuando dos operadores autoadjuntos$A$y$B$conmutan, se pueden diagonalizar simultáneamente. Esto significa que existe una base ortogonal (al menos en el sentido de Dirac) que consta de vectores$\vert a,b,r\rangle$dónde$a$está en el espectro de$A$,$b$en el espectro de$B$, y$r$un índice de degeneración. La probabilidad de encontrar los valores$(a,b)$al medir simultáneamente$A$y$B$entonces se escribe como

$$p(a,b)=\sum_r\vert \langle a,b,r\vert\psi\rangle\vert^2$$

[Aquí, "$a$está en el espectro de$A$" medio$a$es un valor propio de$A$].

Además, uno muestra fácilmente que ambos$\Delta A$y$\Delta B$son simultáneamente $0$para los vectores propios comunes. Por lo tanto, en su ejemplo específico, podemos preguntar si el estado$\vert jm\rangle$tiene un momento angular total bien definido$\hbar^2 j(j+1)$ simultáneamente con una proyección bien definida$\hbar m$.

Tenga en cuenta que "simultáneo" aquí no se refiere a la medición de dos cantidades realizadas al mismo tiempo en un laboratorio. Esta última se denomina medida conjunta. Para enfatizar esto, puede echar un vistazo a este artículo agradable pero algo intenso sobre mediciones conjuntas que en particular cita al principio del trabajo de Margenau y Park:

[Margenau y Park] notan que (a) las relaciones de incertidumbre no tienen nada que ver con las mediciones simultáneas, ya que estas relaciones se refieren a las desviaciones estándar de los resultados de medición que se obtienen midiendo los observables por separado.

También hay un artículo breve y pedagógico de Raymer [ Principio de incertidumbre para la medición conjunta de variables no conmutadas. American Journal of Physics 62.11 (1994): 986-993] que proporciona algunos detalles sobre medidas conjuntas de posición y momento.