El peso de un objeto es la cantidad de fuerza que debe proporcionarse para evitar que el objeto se mueva hacia otro objeto cercano, como el planeta Tierra.

Si tienes dos objetos de diferente masa, ambos cerca del planeta Tierra, entonces, en ausencia de alguna fuerza que impida que lo hagan, ambos seguirán la misma trayectoria si parten del mismo lugar con la misma velocidad. En otras palabras, tienen la misma aceleración. Esto se debe a que ambos siguen la línea más recta posible a través del espacio-tiempo, y solo existe una de esas líneas (para las condiciones de inicio dadas), por lo que ambos la seguirán.

La línea que siguen se acerca a la Tierra cada vez más rápidamente.

Ahora, si desea evitar que cualquiera de los objetos siga esa línea, tendrá que proporcionar una fuerza, como la fuerza de su mano, que en última instancia es una fuerza electromagnética (con algo de mecánica cuántica involucrada también). Tendrá que aplicar más fuerza sobre el objeto más masivo, porque está tratando de eliminar la misma cantidad de aceleración para ambos objetos, y puede usar la segunda ley de Newton,$f = m a$. Sí, realmente es tan simple como eso. En la Relatividad General, leyes como esta se aplican a movimientos que implican una velocidad relativa baja y regiones pequeñas del espacio-tiempo. Entonces, dado que debe proporcionar más fuerza para alejar el objeto más masivo de su línea de caída libre, tendrá más peso.

(Nota agregada para los lectores que deseen saber cómo apareció aquí la ley de Newton. Para calcular la fuerza observada por un observador dado, uno adopta un marco de inercia local que está momentáneamente en reposo en relación con ese observador. En este marco, las leyes de la física son simplemente lo mismo que en todos los otros marcos inerciales locales, y no se ven afectados por la gravitación.En particular, usted tiene${\bf f} = d {\bf p}/dt$y${\bf p} = \gamma m {\bf v}$dónde$\gamma=1$para un objeto en reposo en el marco.)

GR dice que la gravedad es una fuerza ficticia, que existe solo porque eliges un marco de referencia no inercial. GR define un marco no inercial como uno que no está en caída libre.

Entonces, el hecho de que las fuerzas gravitatorias sean proporcionales a la masa se explica simplemente porque las fuerzas no inerciales, en la aproximación newtoniana, siempre son proporcionales a la masa. Por ejemplo, las fuerzas centrífugas y de Coriolis son proporcionales a la masa, al igual que la fuerza ficticia que sientes en un ascensor acelerando.

La razón por la que las fuerzas ficticias son siempre proporcionales a la masa en la aproximación newtoniana es que producen la misma aceleración en todas las partículas de prueba, y en la aproximación newtoniana tenemos$F=ma$.

No es cierto en GR, fuera de la aproximación newtoniana, que las fuerzas gravitatorias sean siempre proporcionales a la masa. Por ejemplo, la fuerza de reacción de la radiación sobre una de las estrellas en un sistema estelar binario es proporcional al cuadrado de la masa de la estrella. Esto es lo mismo que en el caso de la radiación electromagnética, donde la fuerza de reacción de la radiación es proporcional al cuadrado de la carga.

Esta será una explicación muy suelta, ondulada a mano.

Los objetos masivos curvan el espacio-tiempo. Los objetos que caen libremente en el espacio-tiempo curvo siguen una trayectoria "recta", como lo hacen en el espacio-tiempo plano. Pero "heterosexual" no significa lo que podrías pensar.

Una analogía común es conducir sobre la superficie curva de la Tierra. Si gira a la izquierda o a la derecha, conduce en círculos. Pero si vas "recto", también conduces en un círculo alrededor de la Tierra. Debido a que la Tierra es curva, también lo es un camino "recto".

Un camino "recto" en la Tierra es el menos curvo de todos los caminos posibles en la Tierra. La curvatura de la trayectoria está determinada por la curvatura de la Tierra. Todos los caminos "rectos" tienen la misma curvatura.

Este camino "recto" que sigue la Tierra curva es diferente a un camino verdaderamente recto. La curvatura de la Tierra es tan pequeña que normalmente no notas la diferencia. Pero si pudieras ir realmente recto, te darías cuenta después de unas pocas millas.

La relatividad general es algo así. Los objetos que caen libremente en el espacio-tiempo curvo siguen la trayectoria curva más recta posible. La curvatura cerca de la Tierra es lo suficientemente fuerte como para notar inmediatamente la diferencia entre el camino "recto" en el espacio-tiempo curvo y el camino recto en el espacio-tiempo plano.

Cerca de la Tierra, la Tierra determina cuán curvo es el espacio-tiempo. No es obvio, pero todos los objetos siguen un camino de la misma curvatura. Puedes ver un indicio de esto si lanzas una piedra grande y una pequeña a la misma velocidad y dirección. Siguen la misma trayectoria a la misma velocidad.

No es obvio lo que significa un camino curvo o "recto" en el espacio-tiempo. Una forma de pensarlo es que viajamos en las 3 dimensiones del espacio como de costumbre, y la dimensión del tiempo hacia el futuro. La dirección del tiempo es algo así como perpendicular a todas las dimensiones del espacio. A velocidades ordinarias, la velocidad hacia el futuro de todo es de aproximadamente 1 segundo por segundo.

Si ves que algo se mueve rápido, no va tan lejos en el futuro en uno de tus segundos. Su reloj va más lento que el tuyo. A menos que esté midiendo el tiempo con mucha precisión, esto no se nota a menos que el objeto viaje cerca de la velocidad de la luz. Pero es un efecto real, diminuto, incluso a velocidades ordinarias.

La gente habla de espacio-tiempo porque el espacio y el tiempo están más estrechamente relacionados de lo que cabría esperar. En el espacio-tiempo, 186,000 millas de distancia es solo 1 segundo de tiempo. Entonces, en cierto sentido, estamos viajando hacia el futuro a aproximadamente 186,000 millas por segundo.

Consideremos un par de ejemplos de caminos en el espacio-tiempo cerca de la Tierra.

Tira una piedra pequeña. Aterriza a unos pocos pies de distancia y 1 segundo de distancia en el tiempo. Esto significa que el punto más alto de la trayectoria fue de 16 pies. La parte espacial de la trayectoria está muy curvada. Pero tenga en cuenta que la roca aterrizó el equivalente a 186,000 millas de distancia en el tiempo. La curvatura de una trayectoria de 16 pies de alto y 186,000 millas de largo es extremadamente cercana a ser plana. Puedes calcular el radio de un círculo así es de aproximadamente 1 año luz.

Esto significa que la gravedad de la Tierra es extremadamente débil. Cuando los astrónomos hablan de gravedad fuerte, se refieren a algo como un agujero negro, donde un objeto podría estar viajando a velocidades relativistas 1 segundo después de caer. Sin embargo, es lo suficientemente fuerte para nosotros.

Otro punto es que si lanzas una piedra grande y una pequeña, siguen la misma trayectoria en el espacio-tiempo. Se elevan a la misma altura y aterrizan a la misma distancia y tiempo.

Volviendo a la física clásica, esto significa que tienen la trayectoria espacial y tardan la misma cantidad de tiempo en seguirla. Siguen una parábola con la misma velocidad y aceleración. La aceleración de la gravedad es la misma para rocas grandes y pequeñas.

Considere un segundo ejemplo. Apuntas un rifle ligeramente hacia arriba desde la horizontal y disparas una bala. Hacemos esto en una cámara de vacío muy grande para que el aire no frene la bala. Elegimos el ángulo para que la bala se eleve a una altura máxima de 16 pies. Sigue una curva muy plana y aterriza 1 segundo después, aproximadamente a una milla de distancia.

Una vez más, no es obvio, pero esta trayectoria tiene la misma curvatura que la roca. Claramente es casi lo mismo. El otro extremo está a una milla de distancia y 186,000 millas de distancia en el tiempo. Podrías pensar que es un poco más larga que la trayectoria de la roca porque una milla es más larga que unos pocos pies.

Pero no lo es por dos razones. Primero, el tiempo no es realmente una dimensión espacial perpendicular a todas las demás. La regla para calcular la longitud total de un camino en el espacio-tiempo es ligeramente diferente a la de Pitágoras.

Segundo, la bala se movió más rápido que la roca. Así que no viajó tan lejos en el futuro como la roca. Es decir, la bala es un poco más joven que otra bala que no se disparó. Esto también cambia la longitud del camino en el espacio-tiempo y cambia la curvatura de la trayectoria. Resulta que ambos tienen la misma curvatura.

Cambiando un poco de tema, hay diferentes nociones de lo que podrías querer decir cuando dices que un objeto más denso del mismo tamaño es más pesado. Todo realmente significa más masivo.

Masa inercial: un objeto más masivo es más difícil de empujar, más difícil de acelerar. Como un camión grande necesita un motor más grande para alcanzar la velocidad que una motocicleta.

Masa gravitacional activa: un objeto más masivo curva el espacio-tiempo más que un objeto menos masivo. Desvía los objetos más lejos de la trayectoria que tendrían en un espacio-tiempo plano. Esto significa que la Tierra genera fuerzas gravitatorias más fuertes que la Luna.

Masa gravitatoria pasiva: un objeto más masivo es atraído hacia la Tierra con una fuerza mayor que un objeto menos masivo.

Estas tres nociones de masa son conceptualmente diferentes. Puedes medir la masa de un objeto acelerándolo, dejando que atraiga una masa o viendo cómo una masa lo atrae. Los físicos no han encontrado razones profundas por las que las tres respuestas deban ser iguales. Pero incluso los experimentos extremadamente sensibles siempre muestran que sí. Este es uno de los profundos misterios de la física. No podemos demostrar que son iguales. Tenemos que asumirlo. Esta suposición se utiliza en la fundación de las leyes de Newton y para derivar la Relatividad General.

También es parte de la explicación de por qué un objeto más masivo es más pesado.

Suponga que está sosteniendo rocas grandes y pequeñas. Podría dejarlos caer y dejar que sigan sus trayectorias "recta" hacia la Tierra. Si lo hace, aceleran hacia abajo a la misma velocidad,$g$.

Pero no lo haces. Ejerces fuerzas hacia arriba sobre ellos, obligándolos a alejarse de esta trayectoria hacia los que permanecen a una distancia constante de la Tierra. Para hacer esto, la fuerza hacia arriba debe ser la misma que la fuerza de gravedad. La fuerza gravitacional es proporcional a la masa.

Entonces, una roca más densa es más pesada que una roca menos densa.

Quizás la conclusión más importante de esto es que, aunque GR es la respuesta verdadera y correcta, es mucho más fácil.

¿Cómo explica el espacio curvo por qué un objeto más denso de la misma forma y volumen se siente más pesado?

El espacio que vemos a nuestro alrededor es plano dentro de nuestras precisiones de medición. Cuando se va a energías de espacio-tiempo de relatividad especial, están involucrados cuatro vectores, pero aún así la planitud está dentro de las descripciones de la transformación de Lorenz.

¿Qué nos dice que el espacio es curvo? La respuesta es: la relatividad general, en grandes masas domina e introduce la curvatura del espacio-tiempo.

¿ Qué es la relatividad general? :

es la teoría geométrica de la gravitación publicada por Albert Einstein en 1915 y es la descripción actual de la gravitación en la física moderna. La relatividad general generaliza la relatividad especial y refina la ley de gravitación universal de Newton, proporcionando una descripción unificada de la gravedad como una propiedad geométrica del espacio y el tiempo o espacio-tiempo de cuatro dimensiones. En particular, la curvatura del espacio-tiempo está directamente relacionada con la energía y el momento de cualquier materia y radiación presentes.

La ecuación de Einstein relaciona la curvatura del espacio con el tensor de momento de energía$T_{μν}$.

El resultado es: si no hay materia que suministre energía y cantidad de movimiento para que se pueda definir un tensor, no hay curvatura espacial, es plana.

Entonces, la respuesta de primer nivel a su pregunta es: la existencia de masa/energía crea la curvatura. Cuanto mayores son las masas, mayor es la curvatura.

Entonces, un objeto más denso dará un tensor de energía-momento más fuerte y una mayor curvatura de acuerdo con las matemáticas de la relatividad general.

Siempre he encontrado que la bola de bolos en un trampolín modelo de gravedad es una mala analogía. En cambio, piense en la gravedad más como un sistema de baja presión en el clima, con la presión como una medida del espacio-tiempo. Cuanto más lento es el tiempo, menor es la presión. Nada en esta analogía está en desacuerdo con la relatividad, es simplemente una mejor manera de visualizar el problema.

Una cosa interesante acerca de la presión es que permite todos los comportamientos de la gravedad. Por ejemplo, imagina primero si tiras tres trozos de corcho bajo el agua, luchando contra la presión del agua: 1 kg, 10 kg y 100 kg. Obviamente, sería mucho más difícil tirar de las piezas de corcho de 10 y 100 kg debajo de la pieza de 1 kg. Al igual que intentar levantar las piezas de 10 y 100 kg es más difícil que la pieza de 1 kg. En segundo lugar, si imaginas que las piezas más grandes tienen la misma forma de resistencia al agua que la pieza más pequeña (es decir, tienen forma de bala) y si tiras de las tres hasta 100 metros y las sueltas, todas subirán a la cima con la misma aceleración, exactamente como si los hubiera llevado 100 metros en el aire y los hubiera dejado caer.

Así que piensa por qué un objeto es más pesado porque estás luchando contra una mayor presión al levantarlo.

Básicamente, la respuesta de Andrew Steane es correcta para los casos en que los objetos son relativamente pequeños (poca energía de estrés en relación con la Tierra), solo me gustaría aclarar otro efecto, en el caso de objetos que tienen energías de estrés que son comparables a eso de la tierra.

Estás preguntando específicamente por qué un objeto más masivo se siente más pesado.

Es muy importante comprender que es la energía de tensión, no la masa, la que crea los efectos de la gravedad (incluida la curvatura del espacio-tiempo).

Ahora su pregunta es realmente, ¿por qué un objeto, con más estrés-energía, se siente más pesado, digamos, aquí en la Tierra?

En aras del argumento, supongamos que tiene en una mano una pluma y en la otra un miniagujero negro (ignore otros efectos).

¿Por qué siento que la pluma es ligera, mientras que el mini agujero negro es extremadamente pesado?

Estás diciendo que la gravedad es solo la curvatura del espacio-tiempo, y tanto la pluma como el miniagujero negro están tratando de seguir las geodésicas, es decir, ambos intentan moverse a lo largo de un camino hacia el centro de la Tierra. Estás diciendo que ese camino está determinado por el campo gravitatorio estático de la Tierra.

Si simplemente se mueven a lo largo de un camino geodésico (determinado por la Tierra), ¿por qué uno se siente más pesado?

La respuesta es, por un lado, la inercia (porque un objeto es más masivo, tiene más inercia) y por otro lado, que ambos objetos tienen sus propios efectos gravitatorios, que están determinados por su propia tensión-energía.

Ahora bien, el primer efecto (inercia) es el principal aquí, cuando tratamos con objetos relativamente pequeños, que tienen relativamente poca energía de tensión en comparación con la Tierra. El último efecto (campo gravitacional propio) solo se vuelve detectable cuando la energía de tensión de los objetos es de una escala comparable a la de la Tierra. Es por eso que estoy eligiendo un mini-agujero negro para el ejemplo, para que podamos ver que ambos efectos están en juego.

1. Inercia

Este es el principal efecto que experimentamos cuando hablamos de objetos relativamente pequeños, que tienen relativamente poca tensión-energía (en comparación con la Tierra). En este caso podemos despreciar este último efecto (el propio campo gravitatorio estático de los pequeños objetos).

2. Los propios campos gravitatorios estáticos de los objetos.

Este efecto solo es detectable al nivel de objetos comparables a la energía de tensión de la Tierra misma.

El mini-agujero negro tiene mucha más energía de estrés que la pluma, por lo que crea un campo gravitatorio estático a su alrededor que es mucho más fuerte que el de la pluma.

Este campo gravitatorio estático del miniagujero negro afecta a la Tierra de la misma manera que la Tierra afecta al miniagujero negro. Este mini agujero negro puede parecer pequeño, pero es poderoso.

Dado que el mini agujero negro tiene mucha más energía de tensión que la pluma, hace que la Tierra acelere hacia él de la misma manera que la Tierra hace que ambos objetos aceleren hacia la Tierra. En el caso de la pluma este efecto es tan minúsculo, que no es detectable en absoluto.

Entonces, cuando intentas mantener el mini agujero negro y la pluma a la misma distancia de la Tierra, estás tratando de trabajar contra el campo gravitatorio estático de todos estos objetos.

Por lo tanto, la imprecisión introducida al ignorar el movimiento de la Tierra es aproximadamente una parte en un billón de billones, mucho más allá de la sensibilidad de cualquier dispositivo de medición que existe (o incluso se puede imaginar) en la actualidad.

¿Los objetos más pesados ​​en realidad no caen más rápido porque ejercen su propia gravedad?

Y he aquí un hecho, sí, contrariamente a la creencia popular, el mini-agujero negro acelerará hacia la Tierra más rápido que la pluma y alcanzará la superficie antes que la pluma (si lo sueltas, ignora la atmósfera). Esto se debe al hecho de que el miniagujero negro tiene más energía de estrés y crea un campo gravitatorio estático más fuerte a su alrededor que afecta a la Tierra misma.

Tenga en cuenta:

1. la gravedad es la curvatura del espacio-tiempo, no solo la curvatura espacial

2. los efectos de la gravedad en tu caso se crean por una relación mutua entre la pluma y la Tierra o el mini-agujero negro y la Tierra, ambos objetos actúan uno sobre el otro

Así que la próxima vez que sostenga una pluma y un miniagujero negro (por favor, no lo haga), comprenda que uno de ellos se siente mucho más pesado, porque los efectos se deben a un fenómeno creado por una interacción mutua entre la pluma y la Tierra, o el mini-agujero negro y la Tierra, y el mini-agujero negro tiene mucha más tensión-energía. Es solo que, por lo general, en el caso de objetos relativamente pequeños (poca energía de tensión), podemos ignorar la contribución de los propios campos gravitatorios estáticos de los objetos pequeños.

Entonces, la respuesta a su pregunta es principalmente dos efectos:

1. inercia, esta es la respuesta definitiva a su pregunta. A nivel de objetos relativamente pequeños (poca energía de estrés), esto es lo que hace que uno de ellos se sienta más pesado. Si un objeto es más masivo (tiene más estrés-energía), proporcionalmente lo sentiremos más pesado. La gravedad en este caso es simplemente la curvatura del espacio-tiempo, que acelera ambos objetos, aproximadamente a la misma velocidad. El objeto más masivo se siente más pesado porque tiene más inercia y estás tratando de evitar que se mueva a lo largo de la geodésica.

2. los objetos pequeños poseen un campo gravitatorio estático, que hará que se aceleren a diferentes velocidades hacia la Tierra. este efecto se vuelve detectable solo al nivel de objetos que tienen un nivel comparable de tensión-energía en relación con la Tierra.

No puedo pensar en una forma clara e intuitiva de cómo explicar eso. Un problema es que "pesado" es una noción no relativista, por lo que debe traducir las ecuaciones de movimiento de la relatividad general a las fuerzas de Newton en un marco de referencia absoluto.

Una forma de llegar a "pesado" podría ser:
La ecuación de Einstein relaciona la curvatura del espacio-tiempo con el tensor de energía-momento, que incluye la densidad de energía (es decir, masa). Si resuelve las ecuaciones de Einstein y encuentra la métrica del espacio-tiempo, puede calcular el movimiento de un objeto en ese espacio-tiempo (el movimiento está completamente determinado por la métrica del espacio-tiempo), consulte, por ejemplo, https: // physics.stackexchange.com/a/135236/275840
Y el movimiento de ese objeto puede, en algún marco de referencia (por ejemplo, parado en la superficie de la tierra), descomponerse en una aceleración en ese marco, que a su vez actuaría como una fuerza sobre algo en su camino tratando de detenerlo (por ejemplo, usted, por lo tanto, siente que es "pesado").

La gravedad afecta a todos los objetos de la misma manera, independientemente de su masa. Un objeto que viaja en su camino natural a través del espacio y el tiempo está en caída libre. Todos los objetos en caída libre viajan a lo largo del mismo camino independientemente de su masa, como demostró Galileo (a menos que sean tan masivos que necesitemos tener en cuenta su propia gravedad). La razón por la que algunos objetos se sienten más pesados ​​que otros es porque se necesita más energía para desviarlos de su camino natural.

Por ejemplo, un objeto que descansa sobre la superficie de la tierra no viaja a lo largo de su trayectoria natural (no está en caída libre). La tierra tiene que ejercer una fuerza para evitar que el objeto se caiga. Para más masivos los objetos, la superficie de la tierra debe ejercer una fuerza mayor.

Si solo estamos tratando con pesos en un lugar localizado en la superficie de la tierra, es posible usar el principio de equivalencia: las propiedades físicas son las mismas que estar en una nave espacial en el espacio exterior con una aceleración$g$.

Objetos más pesados ​​aquí en la tierra serían igualmente más pesados ​​allí. Es fácil ver que la aceleración es la misma para todos los objetos, porque la nave está realmente acelerada. Por supuesto, como$F = ma$, más masa significa más peso.

La métrica en la superficie de la tierra es tal que la aceleración covariante es$g$para un cuerpo en reposo, como se explica aquí .

Para una respuesta clásica, realmente no puede pasar el resumen de Wheelers de GR:

La materia (densidad de energía) le dice al espacio-tiempo cómo curvarse

El espacio-tiempo curvo le dice a la materia cómo moverse.

En la Tierra, si los objetos tienen mucha menos densidad de energía que la Tierra (básicamente en todos los casos de la vida diaria), entonces la curvatura local (aceleración$g$) es esencialmente lo mismo, pero tienes que hacer más trabajo (mayor fuerza x misma distancia) para levantar el objeto más masivo (= más inercia) = se siente más pesado.

Sin embargo, en teoría, si un objeto en la Tierra tuviera una densidad de energía similar a la de la Tierra (es decir, un pequeño agujero negro), en realidad curvará notablemente el espacio-tiempo local. Luego, la tierra también acelerará hacia él, por lo que debe hacer mucho más trabajo (contra la propia curvatura del objeto) para levantarlo en comparación con cualquier otro objeto diario.

En la relatividad general, la fuerza gravitatoria no existe. Entonces no podemos pensar en "pesadez" o "peso" como "la fuerza ejercida desde la Tierra hacia el cuerpo" que estás considerando. Entonces, una pregunta preliminar es: ¿cómo definimos "pesadez" aquí?

En su caso, tenemos una métrica de fondo y una curvatura que provienen de la distribución de energía-momento-esfuerzo de la tierra, y se ven afectados de manera insignificante por el cuerpo que considera. Por lo tanto, si el cuerpo estuviera en caída libre, tendría la misma línea de mundo 4D, independientemente de su densidad, forma, volumen (siempre que estos estén dentro de los límites que nos permitan considerar el cuerpo como una masa de prueba).

En este caso, podemos definir "pesadez" o "peso" como las 4 fuerzas necesarias para mantener el cuerpo de prueba en reposo en un marco en el que la Tierra está (en promedio) en reposo. Si el cuerpo está en reposo en dicho marco, entonces su línea de tiempo no es una geodésica. Esto significa que el cuerpo tiene una aceleración de 4, es decir, sus cambios de impulso de 4 (en términos de derivada covariante) a lo largo de su línea de tiempo; no permanece "paralelo a sí mismo" a lo largo de la línea de tiempo. (Recuerde que el 4-momentum se percibe, se puede descomponer, como momento ordinario y masa-energía en un marco de referencia específico, pero tal percepción y descomposición depende del marco; de manera similar, 4-fuerza se puede descomponer como fuerza y ​​trabajo ordinarios +calefacción.)

De acuerdo con las ecuaciones de Einstein, tal aceleración 4 solo es posible si una fuerza 4, lo que estamos definiendo como "pesadez", actúa sobre el cuerpo, y resulta que esa fuerza 4 depende de la masa en reposo de el cuerpo. Por esta razón, si el objeto tiene mayor masa, se "sentirá más pesado". También se podría hacer un razonamiento similar para la "sensación de inercia".

En general, la cantidad de 4 fuerzas$\pmb{f}$necesario para desviar un cuerpo de prueba de su geodésica dependerá de la curvatura de fondo (el cuerpo se siente más pesado en un planeta más masivo, lo que da lugar a una mayor curvatura), expresada en la derivada covariante$\nabla$; y en la masa restante$m$del cuerpo (los cuerpos más masivos se sienten más pesados), que es igual a la "longitud de 4" del impulso de 4$\pmb{p}$del cuerpo. Si el cuerpo no emite ni absorbe calor, tenemos$\pmb{p}=m\pmb{u}$, dónde$\pmb{u}$es la 4-velocidad del cuerpo, con unidad "4-longitud". En este caso la fuerza satisface$\pmb{f} = \nabla_{\pmb{u}}(m\pmb{u})$, que se puede derivar de las ecuaciones de Einstein (esta fórmula está relacionada con el "$F=ma$" de la mecánica newtoniana, que aparece en otras respuestas). En su ejemplo, el "$\nabla_{\pmb{u}}\pmb{u}$parte" es la misma para los objetos más densos y menos densos (misma línea de tiempo no geodésica, misma curvatura de fondo), pero el "$m$part" es más grande para el objeto más denso.

Si el cuerpo está emitiendo o absorbiendo calor, su 4-momento y su 4-velocidad son en realidad no colineales; este suele ser un efecto insignificante en contextos newtonianos.

Referencias

Cuatro impulsos, cuatro aceleraciones y cuatro fuerzas se pueden encontrar en diferentes lugares en

• Misner, Thorne, Wheeler: Gravitación (Freeman 1973),

por ejemplo los capítulos 6 y 13.

La derivación de$\pmb{f} = \nabla_{\pmb{u}}(m\pmb{u})$para los cuerpos de prueba de las ecuaciones de Einstein no es trivial. Ver por ejemplo:

• Infeld, Schild: Sobre el movimiento de las partículas de prueba en la relatividad general . Rev.Mod. física 21 (1949), 408.

• Geroch, Soo Jang: Movimiento de un cuerpo en la relatividad general . J. Matemáticas. física 16 (1975), 65.

Para la no colinealidad de 4 velocidades y 4 impulsos, consulte, por ejemplo

• Eckart: La termodinámica de los procesos irreversibles. tercero Teoría relativista del fluido simple . física Rev. 58 (1940), 919.