Interpretaciones de (r,s) tensores [duplicado]

Un tensor de tipo (r,s) en un espacio vectorial V es una función T de valor C en V×V×...×V×W×W×...×W (hay r V y s W en donde W es espacio dual de V) que es lineal en cada argumento. Tomamos los tensores (0, 0) como escalares, como una cuestión de convención. Las interpretaciones de los tensores (r,0) son triviales, ya que son definiciones de funcionales multilineales (como un caso especial del tensor (1,0) interpretado como covector (elementos del espacio dual)). Podemos interpretar los tensores (1,1) de la siguiente manera: A(v,f ) ≡ f (Av). Digamos que tenemos un operador lineal R; entonces podemos convertir R en un tensor T de segundo rango por T(v,w) ≡ v · Rw donde · denota el producto escalar habitual de vectores. Si calculamos las componentes de T encontramos que las componentes del tensor T son las mismas que las componentes del operador lineal R. Ok. Todo es bueno. Pero no puedo entender las interpretaciones de otros tensores (r, s). Por ejemplo, encontré en Wikipedia el tensor (0,1) interpretado como un vector o (0,2) como un bivector y, en general, el tensor (0,s) como un tensor n-vector; o (2,1) tensor como producto cruzado y así sucesivamente. Quiero que muestres cómo se interpretan los tensores en general. ¿Es posible para usted mostrar estas interpretaciones como lo hice para el tensor (1,1)? Por favor, no cierres esta publicación. Mi respuesta no está en "¿Qué es el tensor?"

Publicado de forma cruzada desde math.stackexchange.com/q/883510/11127

Respuestas (1)

Al igual que ( r , 0 ) son "funcionales multilineales" que asignan un grupo de r co-vectores es decir r ( 0 , 1 ) tensores un escalar, y parece aceptar esta visualización, el ( r , s ) Los tensores son "funcionales multilineales" que asignan un grupo de r co-vectores es decir r ( 0 , 1 ) tensores y s vectores es decir ( 1 , 0 ) tensores un escalar.

Esta es solo una forma entre muchas de cómo presentar o visualizar tensores dados. Es una forma que sugiere que uno puede "contraer" todos los índices del tensor con vectores para obtener un escalar, es decir, un ( 0 , 0 ) tensor, como resultado. Pero hay muchas otras formas de contraer los índices de los tensores para obtener otros tensores (incluidos escalares, vectores, covectores y otros tensores). Usted presentó una de esas interpretaciones de la ( 1 , 1 ) tensores: son operadores, ya sea en el espacio de vectores o co-vectores.

En general, el producto más general de ( r i , s i ) tensores para i = 1 , 2 , … norte sin ninguna contracción de índices es un tensor del tipo

( ∑ i = 1 norte r i , ∑ i = 1 norte s i )
lo que en lenguaje sencillo significa que el número inferior y superior (índices covariantes y contravariantes) simplemente se suma de los productos individuales.

Con respecto a los tensores elementales no triviales (no escalares), ( 1 , 0 ) tensores y ( 0 , 1 ) Los tensores son espacios vectoriales que son "dual" (un par de tipos) entre sí, en el sentido del álgebra lineal. Uno de estos espacios contiene todas las formas lineales que actúan sobre el otro espacio, y viceversa. La relación es simétrica, por lo tanto es una "dualidad". Entonces, si crees que conoces una interpretación de uno de estos tensores, debes admitir que también conoces una interpretación del otro espacio (y sus elementos, tensores).

Una vez que tenga "interpretaciones" para la primaria ( 1 , 0 ) y ( 0 , 1 ) tensores, puede tener una "interpretación" para el más general ( r , s ) uno como un "funcional multilineal" que actúa sobre r vectores de un tipo y s vectores de tipo dual.

Gracias por su atención. Creo que mi pregunta sigue sin resolverse. Para aclararme su respuesta, primero explíqueme cómo se interpreta el tensor (0,1) como un vector; ¿Por eso una función lineal de un funcional interpretada como un vector?
El dual al dual de un vector es (isomorfo a) el mismo vector. A los matemáticos les encanta decir muchas cosas extravagantes al respecto, consulte, por ejemplo, math.stackexchange.com/questions/540020/… , pero en realidad es un hecho trivial.
De acuerdo. Estoy de acuerdo en que el dual de un dual de un espacio vectorial es isomorfo al espacio vectorial, pero esto no significa que el dual del dual de un vector sea exactamente el mismo vector, ¿cómo puedes demostrar que un vector se puede expresar como una función de un funcional lineal?
Lo sentimos, no hay nada como un "dual de un vector individual". Ese es realmente el punto. Si pudiera mapear los vectores uno por uno, entonces no habría razón para considerar que los espacios son diferentes. Ahora, si tienes un producto interno en el espacio, entonces ( 1 , 0 ) y ( 0 , 1 ) los vectores son realmente lo mismo - hay un mapa para los vectores uno a uno - pero entonces la distinción entre ( r , s ) y r + s índices se vuelve tonto. El ( r , s ) solo se habla si no existe un producto interno universal canónico importante, ¡y entonces no hay forma de "dualizar" los vectores individuales!
El isomorfismo solo se aplica a los espacios. Si tengo una "forma lineal en el espacio de formas lineales en el espacio V", puedo identificarla con un elemento de "V" mismo. Pero V y V dual, el espacio de los vectores (0,1) y (1,0), en realidad no son isomorfos entre sí, por lo que es totalmente incorrecto identificar vectores individuales en ellos.
Gracias. Pero creo que mi problema sigue ahí. Entendí el tensor (1,0) interpretado como covector, ya que la definición del tensor (1,0) y la definición del covector coincidieron. Pero, ¿qué tal un vector y un tensor (0,1)? No puedo entender cómo estos objetos coincidieron.
hola, si ( 1 , 0 ) tensor es el covector, entonces el ( 0 , 1 ) tensor es el dual, el vector normal o contra-vector o como quieras llamarlo.
Sin embargo, no puedo entender cómo se puede ver un vector como una función lineal de un funcional.
Escribiste "Estoy de acuerdo en que el dual de un dual de un espacio vectorial es isomorfo al espacio vectorial" y es exactamente la misma afirmación. Así que debes decidir si lo entiendes o no.
El isomorfismo entre dos espacios significa que la estructura de dos espacios sin limitarnos a sus elementos es la misma. Esto no significa que sus elementos sean los mismos. Por ejemplo, cualquier espacio vectorial bidimensional n es isomorfo. ¿Significa esto que sus elementos son los mismos?
Sí, son iguales. Existe un isomorfismo canónico. Estoy de acuerdo contigo en que pueden existir isomorfismos no únicos entre las dos estructuras, es decir, el isomorfismo es indeterminado hasta un grupo (grande) de automorfismos, pero el isomorfismo de un espacio y el dual de su dual es absolutamente canónico. Sí, los elementos son los mismos. La dualidad no es otra cosa que mover el índice al otro lugar - de abajo hacia arriba o viceversa.
Es realmente trivial mostrarte qué es la forma en el espacio de las formas. Tome un vector V en el espacio original. Entonces tienes formas F en el espacio dual que te dan un número real F(V). Ahora, quiero una forma G en el espacio de las formas F, es decir, G(F). Para cada forma F, quiero un número real G(F), ¿de acuerdo? Es fácil definir una "forma en el espacio de las formas" que está asociada únicamente con un vector V en el espacio original, a saber, por G_V(F)=F(V). ;-) Para cada V, puedo definir tal G_F que asigna un número a cualquier forma F.
Tomemos el espacio original "números reales". ¿Está de acuerdo en que los elementos del dual del dual de nuestro espacio vectorial son "funciones"? Y "números" y "funciones" son dos cosas diferentes. ¿Estoy en lo cierto?
No, por el espacio dual, nos referimos al espacio de funciones lineales , y están dadas por un parámetro. Para que su ejemplo sea más revelador, considere que el espacio vectorial original es el espacio de X coordenadas en metros. Entonces "x=5 metros" y "x=-3 metros" son elementos. El espacio dual contiene funciones lineales. F : X → R que obviamente tienen la forma F = a X . El resultado es real, sin unidades, por lo que a debe tener unidades de metros inversos por análisis dimensional, ¿de acuerdo? Por eso no puedes identificar los elementos del espacio original con los del espacio dual.
Pero ambos espacios son espacios unidimensionales. El dual a dual contiene funciones lineales que asignan a , con las unidades de metros inversos, a números reales. Es claramente solo la multiplicación de a por otro coeficiente cuya unidad es de nuevo 1 metro. Estos pueden identificarse canónicamente con los elementos originales x. Intente pensar más que inventar excusas ricas en errores. Esta es mi última respuesta aquí porque el tiempo necesario para resolver esta completa trivialidad se ha vuelto excesivo.
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