¿Por qué decimos que en el límite no relativista solo necesitamos un espinor de dos componentes? (Como en la ecuación de Schrödinger, ni siquiera hablamos de espinores,... son un objeto componente) He leído esta declaración en varios libros que discuten el límite no relativista de la ecuación de Dirac.
El término "ecuación de Schrodinger" es ambiguo y, a veces, puede referirse a la ecuación abstracta ya veces se refieren a cosas más específicas, como la porción espacial de la función de onda no relativista. La función de onda no relativista de una partícula con espín implica espinores, por lo que la ecuación general de Schrödinger que se le aplica tiene una parte espacial y una parte de espín.
Es cierto que los espinores que necesita para describir una partícula no relativista son solo de 2 componentes en lugar de 4 componentes, siempre que la energía cinética de la partícula sea mucho menor que su energía en reposo ( )
La forma más fácil que se me ocurre para explicar la diferencia es en términos de antipartículas. La mecánica cuántica no relativista solo describe partículas, no existen las antipartículas. Entonces tiene sentido que solo necesites la mitad del número de grados de libertad. El mismo espinor de Dirac de 4 componentes en la teoría cuántica de campos se utiliza para representar tanto al electrón como al positrón. Otra forma de decir esto es que hay soluciones de energía positiva y energía negativa para la ecuación de Dirac. Pero en la mecánica cuántica no relativista, no hay razón para considerar antipartículas o soluciones de energía negativa. Solo nos preocupamos por describir electrones (u otras partículas similares). Si toma el límite no relativista de un espinor de Dirac de 4 componentes, termina con 2 de los componentes siempre iguales, y los otros 2 componentes siendo siempre los mismos. Por lo tanto, también puede descartar las partes duplicadas y usar solo 2 componentes.
En términos de teoría de grupos, el grupo de espacio-tiempo para la mecánica cuántica relativista es el grupo de Lorentz SO(3,1). Cuando miras todas las representaciones de eso, encuentras una representación escalar trivial, algunas representaciones de spinor, algunas representaciones de vector, etc. Las representaciones de spinor se consideran mejor como SU(2)xSU(2), que es localmente isomorfa a SO( 3,1). Como hay 2 copias de SU(2), tiene dos espinores de Weyl de 2 componentes (que se pueden apilar uno encima del otro para construir un espinor de Dirac de 4 componentes). Pero en la mecánica cuántica no relativista, el tiempo no es una dimensión, es solo un parámetro separado. El grupo de rotaciones en el espacio 3D es solo SO(3). Entonces, solo necesita una copia de SU (2) para encontrar una representación de espinor que sea localmente isomorfa a eso. Agregar una segunda copia sería simplemente redundante.