Cuantificación del campo de neutrinos sin masa.

Si se considera un neutrino o anti-neutrino sin masa (en todo el post considero neutrinos res. anti-neutrinos como sin masa), se describe mediante la ecuación de Weyl:

$$\overline{\sigma}^{\mu}\partial_\mu \chi_a =0$$ si es zurdo y neutrino (es decir, transformándose según$D^{(\frac{1}{2},0)}$)

o

$$\overline{\sigma}^{\mu}\partial_\mu \xi^\dagger_\dot{b} =0$$ si es diestro y anti-neutrino (es decir, se transforma según$D^{(0,\frac{1}{2})}$)

En cambio, una partícula de Dirac se describe mediante un bispinor (4-spinor)

$$\left(\begin{array}{c} \chi_a \\ \xi^{\dagger}_\dot{b} \end{array} \right)$$ que tiene 4 grados de libertad: (partícula que gira hacia arriba; partícula que gira hacia abajo; antipartícula que gira hacia arriba; antipartícula que gira hacia abajo) una solución de la ecuación de Weyl aparentemente tiene solo un grado de libertad, como la helicidad está ligado al tipo de neutrino (neutrino o anti-neutrino).

Sin embargo, la solución Weyl tiene 2 componentes. Peor aún, según el volumen 4 de Landau/Lifschitz (también busqué en Srednicki tal desarrollo, pero no pude encontrarlo), el operador de campo correspondiente de la ecuación de Weyl libre se puede desarrollar en soluciones de frecuencia positiva y negativa:

$$\chi_a = \sum_p (U(p)_a a_p e^{ipx} + V(p)_a b_p^\dagger e^{-ipx})$$

Yo uso mayúsculas para los 2 espinores.$U(p)$y$V(p)$para distinguirlos de las conocidas soluciones bispinor de la ecuación de Dirac$u(p)$y$v(p)$.

P: ¿Cómo es posible tal desarrollo en soluciones de frecuencia positiva y sobre todo negativa? Parece ser que en una solución$\chi_a$, que únicamente describe neutrinos, los antineutrinos se mezclan debido a la aparición de las soluciones de frecuencia negativa. Este es en realidad el punto que no entiendo en absoluto.

P: ¿Cuál es la relación de$U(p)_a$y sobre todo$V(p)_a$con las soluciones de Dirac$u(p)$y$v(p)$?

P: En particular, ¿cómo se garantiza que$V(p)_a$sigue siendo un 2-spinor zurdo, es decir, no se convierte en un 2-spinor de hélice derecha (que parece manifestarse como$V(p)$es el coeficiente de la solución de frecuencia negativa)

Considero que este detalle es importante porque al tomar el conjugado hermitiano, el operador de campo se convierte aparentemente en un 2-spinor diestro:

$$\chi^\dagger_\dot{a} = \sum_p (U(p)_\dot{a} a^\dagger_p e^{-ipx} + V(p)_\dot{a} b_p e^{ipx})$$

Tal cambio de representación no ocurre si se toma el conjugado hermitiano de una solución bispinor Dirac, ya que el conjugado hermitiano de una solución bispinor Dirac se transforma en una representación equivalente a la original (bispinor estándar).