Interpretación de la ecuación de Poisson

Question

Interpretación de la ecuación de Poisson

chandrahas

Para simplificar, considere la ecuación de Poisson unidimensional expresada en coordenadas cartesianas:

\frac{d^{2} V}{d X^{2}} = - \frac{ρ}{ϵ_{0}} .

$\frac{d^2V}{dx^2}=-\frac{\rho}{\epsilon_0}.$ Ahora, observamos en este caso que la densidad de carga no es única. Para un potencial de

V = 2 x + 1

$V=2x+1$ y un potencial de 5, obtenemos la misma distribución de carga. ¿Qué significa es físicamente? ¿Dónde me estoy equivocando?

SRS

Los problemas en electrostática, generalmente asumen que la distribución de carga es conocida/dada y el potencial se calcula usando la ecuación de Poisson con la condición límite apropiada. Para una dada

ρ (x)

$\rho(x)$ ,

V (x)

$V(x)$ no se determina de forma única a menos que especifique la condición de contorno. Además,

V (x)

$V(x)$ es único sólo hasta una constante.

chandrahas

pero si conozco el potencial exacto en primer lugar, ¿no debería producir una distribución de carga única? y en este caso, ¿cómo puede una distribución de carga que es cero en todas partes producir un campo eléctrico de -2?

SRS

¿Cuál es tu potencial único? Si esto es

V (x) = 2 x + 1

$V(x)=2x+1$ , entonces

ρ = 0

$\rho=0$ y si es

V (x) = 5

$V(x)=5$ entonces también

ρ = 0

$\rho=0$ . Ambos potenciales corresponden a soluciones de la ecuación de Poisson con

ρ = 0

$\rho=0$ pero con diferentes condiciones de contorno. Entonces, en cada caso, su distribución de carga es única e inequívoca (pero igual).

chandrahas

pero ¿de dónde viene el potencial y el campo eléctrico?

SRS

quien dijo eso para

ρ = 0

$\rho=0$ uno no puede tener

V \neq 0

$V\neq 0$ ? La solución general de la ecuación de Poisson para

ρ = 0

$\rho=0$ es

V (x) = a x + b

$V(x)=ax+b$ dónde

a, b

$a,b$ son constantes que se determinarán utilizando la condición de frontera del problema.

chandrahas

¿Puedes echarle un vistazo a este problema? ( physics.stackexchange.com/questions/304797/… ). Porque no entiendo dónde me equivoqué. Este problema es un pensamiento sobre dónde me equivoqué allí.

SRS

ρ = 0

$\rho=0$ también puede producir un campo eléctrico distinto de cero. Pero

ρ = 0

$\rho=0$ solo donde encuentras la solución. Debe haber otras distribuciones de carga que produzcan este campo. Conoces la información de esta carga en términos de la condición de contorno. Considere la región entre dos placas cargadas: no hay carga en el medio. Es posible que no conozca la distribución de carga de las placas, pero se conoce el potencial en las placas. Entonces puede tener un campo eléctrico distinto de cero en el medio. ¡Espero eso ayude!

Respuestas (4)

Interpretación de la ecuación de Poisson

Los problemas en electrostática, generalmente asumen que la distribución de carga es conocida/dada y el potencial se calcula usando la ecuación de Poisson con la condición límite apropiada. Para una dada $\rho(x)$ , $V(x)$ no se determina de forma única a menos que especifique la condición de contorno. Además, $V(x)$ es único sólo hasta una constante.
pero si conozco el potencial exacto en primer lugar, ¿no debería producir una distribución de carga única? y en este caso, ¿cómo puede una distribución de carga que es cero en todas partes producir un campo eléctrico de -2?
¿Cuál es tu potencial único? Si esto es $V(x)=2x+1$ , entonces $\rho=0$ y si es $V(x)=5$ entonces también $\rho=0$ . Ambos potenciales corresponden a soluciones de la ecuación de Poisson con $\rho=0$ pero con diferentes condiciones de contorno. Entonces, en cada caso, su distribución de carga es única e inequívoca (pero igual).
quien dijo eso para $\rho=0$ uno no puede tener $V\neq 0$ ? La solución general de la ecuación de Poisson para $\rho=0$ es $V(x)=ax+b$ dónde $a,b$ son constantes que se determinarán utilizando la condición de frontera del problema.
¿Puedes echarle un vistazo a este problema? ( physics.stackexchange.com/questions/304797/… ). Porque no entiendo dónde me equivoqué. Este problema es un pensamiento sobre dónde me equivoqué allí.
$\rho=0$ también puede producir un campo eléctrico distinto de cero. Pero $\rho=0$ solo donde encuentras la solución. Debe haber otras distribuciones de carga que produzcan este campo. Conoces la información de esta carga en términos de la condición de contorno. Considere la región entre dos placas cargadas: no hay carga en el medio. Es posible que no conozca la distribución de carga de las placas, pero se conoce el potencial en las placas. Entonces puede tener un campo eléctrico distinto de cero en el medio. ¡Espero eso ayude!

JEB · Answer 1

Un problema es la falta de dimensiones. (Tú tienes uno). Omitamos el potencial y trabajemos con un campo, normalmente:

\nabla mi = ρ / ϵ_{0}

${\bf \nabla E} =\rho / \epsilon_0$

En 3 dimensiones, el campo de espacio libre cae como $1/r^2 \ (and\ V \propto 1/r)$ . Puede imaginar una línea de flujo conservada extendiéndose en el espacio a medida que pasa a través de una superficie de radio $\propto r^2$ .

En 2 dimensiones esperas que el campo caiga como $1/r$ , con $V \propto \ln r$ , nuevamente ha conservado líneas de flujo que se extienden.

Ahora ha elegido 1 dimensión, por lo que cualquier cantidad de flujo no se puede distribuir. Una carga puntual en cualquier lugar conduce a un campo constante que apunta hacia (o alejándose de) él, y nunca se cae. Eso significa que una carga puntual en cualquier lugar conduce a una rampa lineal en $V(x)$ --esto parece contrario a la intuición, que una carga de distancia puede conducir a un potencial divergente lineal, pero es solo porque solo hay 1 dimensión funcionando.

Como se mencionó en otras respuestas, este término se fija con condiciones de contorno. Si hay una carga puntual en $x_0$ , entonces

V (X) \propto | X - X_{0} |

$V(x) \propto |x-x_0|$

Por supuesto, el término constante no tiene sentido en cualquier número de dimensiones.

librecharly · Answer 2

Su ecuación de Poisson unidimensional es una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de segundo orden para el potencial $V(x)$ . Para la especificación de una solución única para $V(x)$ , debe especificar la falta de homogeneidad (densidad de carga) $\rho(x)$ y dos condiciones de contorno para el potencial. Luego obtiene la solución potencial única sumando dos soluciones independientes de la ecuación homogénea ( $\rho=0$ ) a una solución de la ecuación no homogénea para que se cumplan las dos condiciones de contorno. Las dos soluciones potenciales que menciona son soluciones a la ecuación homogénea y, por lo tanto, corresponden solo al caso en que la densidad de carga es cero ( $\rho=0$ ).

Jacobo · Answer 3

Lo primero es que el potencial es una cantidad relativa, al igual que el potencial de gravedad, solo puede hablar sobre el significado físico antes de elegir un punto de referencia correcto. Entonces, además de una constante en su potencial, no tiene afecto.

Lo segundo es que la ecuación de Poisson es una ecuación diferencial, por lo que lo que está buscando es el potencial si se le da la distribución de densidad. Por supuesto, puede tratarlo como una ecuación matemática para que pueda elegir cualquier función matemática "V", pero no hay correspondencia entre eso y la distribución física de electrones.

Espero eso ayude.

SAKhan · Answer 4

El punto a tener en cuenta es que cuando el RHS = 0 se obtiene la ecuación de Lapalace. En ese caso, el potencial V no tendrá máximos locales. Ese es el valor promedio de V sobre cualquier punto no puede ser mayor o menor que V en ese punto. Cuando $\rho$ no es cero, hay máximos o mínimos locales en esos puntos. El LHS es simplemente la curvatura de V.

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