Interpretación adecuada de ρrada4ρrada4\rho_\textrm{rad} \, a^4 en cosmología

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Interpretación adecuada de ρrada4ρrada4\rho_\textrm{rad} \, a^4 en cosmología

Cham

El fluido de radiación generalmente se representa mediante la ecuación de estado $p = \frac{1}{3} \, \rho$ , dónde $p$ es la presión y $\rho$ es la densidad de energía. La conservación local de la energía establece que

\begin{matrix} (1) & ρ_{radical} = ρ_{0} \frac{a_{0}^{4}}{a^{4}}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \rho_\textrm{rad} = \rho_0 \, \frac{a_0^4}{a^4}, \end{equation}$ dónde

ρ_{0}

$\rho_0$ y

a_{0}

$a_0$ son constantes y

a

$a$ es el factor de escala cosmológico con unidades de longitud. Este es un tema bien conocido en la cosmología estándar. Lo que me desconcierta es la constante

ρ_{0} a_{0}^{4}

$\rho_0 \, a_0^4$ . ¿Cuál es su interpretación rigurosa? Para materia fría similar al polvo, es fácil:

ρ_{mat} \propto a^{- 3}

$\rho_\textrm{mat} \propto a^{- 3}$ y

M = ρ_{0} a_{0}^{3}

$M = \rho_0 \, a_0^3$ se interpreta como la masa propia total conservada de materia dentro del volumen

a^{3}

$a^3$ .

En caso de radiación, la energía $E_\textrm{rad} = \rho \, a^3$ no se conserva , ya que hay presión y la longitud de onda de los fotones se desplaza hacia el rojo mientras el universo se expande. Pero entonces, ¿cuál es la constante $\rho \, a^4$ ? Sospecho firmemente que está relacionado con la entropía de radiación total en el volumen $a^3$ , o tal vez la cantidad de partículas ultrarrelativistas , pero no puedo encontrar ninguna fuente confiable sobre esto.

Sé que en los modelos estándar RWFL (Robertson-Walker-Friedmann-Lemaître), la entropía se conserva debido a la conservación local de la energía-momento, lo que equivale a decir

\begin{matrix} (2) & d mi = T d S - pag d V = - pag d V . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \mathrm dE = T \, \mathrm dS - p \, \mathrm dV = -\, p \, \mathrm dV. \end{equation}$ También sé que la ley de Stefan-Boltzmann establece que

ρ_{rad} \propto T^{4}

$\rho_\textrm{rad} \propto T^4$ , y la entropía de radiación clásica es

S \propto T^{3} V

$S \propto T^3 V$ dentro de un volumen

V

$V$ . De este modo

ρ a^{4} \propto T^{4} V^{4 / 3} \propto S^{4 / 3}

$\rho \, a^4 \propto T^4 \, V^{4/3} \propto S^{4/3}$ , que de hecho se conserva ya que la entropía no cambia. Pero no estoy totalmente satisfecho con este razonamiento y nunca vi esto en mis libros sobre relatividad general y cosmología.

¿Alguien tiene un argumento convincente de que esto debería ser cierto?

EDITAR: El siguiente es un aspecto del problema que me desconcierta. El argumento de la termodinámica anterior da

\begin{matrix} (3) & ρ_{radical} a^{4} \propto S^{4 / 3} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} \rho_\textrm{rad} \, a^4 \propto S^{4/3}. \end{equation}$ el exponente

\frac{4}{3}

$\frac{4}{3}$ coincide con el índice adiabático

γ = \frac{4}{3}

$\gamma = \frac{4}{3}$ del gas ultrarrelativista. ¿Qué está haciendo aquí? Si introduzco la densidad de entropía

σ = S / V

$\sigma = S/V$ , entonces aparentemente podríamos escribir esto:

\begin{matrix} (4) & ρ_{radical} \propto σ^{γ}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \rho_\textrm{rad} \propto \sigma^{\gamma}, \end{equation}$ que recuerda la ecuación de estado politrópica de gaz

p \propto ρ_{mass}^{γ}

$p \propto \rho_\textrm{mass}^{\gamma}$ . Porqué es eso ? ¿Puede hacerse esto más general (por

γ \neq \frac{4}{3}

$\gamma \ne \frac{4}{3}$ ) ? Nunca vi las relaciones (3) y (4) en mis libros de termodinámica, que yo sepa. Necesito una prueba más rigurosa de estos y referencias si es posible.

Si $\rho \, a^4$ está relacionado con el número de partículas en lugar de la entropía, entonces el estado de gas politrópico tendría más sentido, ya que $p \propto \rho_\textrm{rad} \propto n^\gamma$ , dónde $n = N/V$ es la densidad de partículas.

usuario36790

Solo una nota al margen: no tiene que usar \begin{equation} \end{equation}aquí; $$ $$funciona bien aquí.

Respuestas (2)

Interpretación adecuada de ρrada4ρrada4\rho_\textrm{rad} \, a^4 en cosmología

Solo una nota al margen: no tiene que usar \begin{equation} \end{equation}aquí; $$ $$funciona bien aquí.

Sean E. Lago · Answer 1

En realidad es mucho más simple que eso. El número de fotones es una cantidad conservada en el vacío cuando la gravitación es lo suficientemente débil como para evitar el efecto Unruh, por lo que la densidad del número de fotones escala de la misma manera que la densidad del número de materia:

norte = {norte}_{0} \frac{a_{0}^{3}}{a^{3}} .

$n = n_0 \frac{a_0^3}{a^3}.$ Para obtener la densidad de energía total de la radiación, se toma la densidad del número espectral (densidad de fotones por unidad de volumen de espacio por unidad de frecuencia,

n_{ν}

$n_\nu$ ) y calcula:

ρ_{r a d} = \int_{0}^{\infty} h v {norte}_{v} d v .

$\rho_{\mathrm{rad}} = \int_0^\infty h\nu n_\nu \operatorname{d} \nu.$ Tenga en cuenta que porque

n_{ν} d ν

$n_\nu \operatorname{d}\nu$ , una forma diferencial, es una densidad numérica ordinaria, se escalará de la misma manera que cualquier otra densidad numérica, tomada como una unidad, siempre que sigamos correctamente los límites de la integral. Ya que son

0

$0$ y

\infty

$\infty$ , sin embargo, eso no es un problema. El resultado es:

\begin{aligned} ρ_{r a d} & = \int_{0}^{\infty} h (v_{0} \frac{a_{0}}{a}) ({norte}_{v_{0}} d v_{0} \frac{a_{0}^{3}}{a^{3}}) \\ = ρ_{0} \frac{a_{0}^{4}}{a^{4}} . \end{aligned}

$\begin{align}\rho_{\mathrm{rad}} & = \int_0^\infty h \left(\nu_0 \frac{a_0}{a}\right) \left( n_{\nu_0} \operatorname{d} \nu_0 \frac{a_0^3}{a^3} \right) \\ & = \rho_0 \frac{a_0^4}{a^4} .\end{align}$

Dicho de otra manera, cuando distribuyes fotones aumentando el volumen por un factor de $a^3$ y aumentar su longitud de onda en $a$ , su densidad de energía cae $a^4$ .

Tenga en cuenta que el espectro de fotones en esta derivación puede tomar cualquier forma, por lo que es más general que una derivación basada en la entropía que supone un gas en equilibrio termodinámico a cierta temperatura.

Editar para agregar:

Lo que me desconcierta es la constante $ρ_0a_0^4$ . ¿Cuál es su interpretación rigurosa?

La interpretación específica de esto es que es la densidad de radiación cuando el factor de escala, $a$ , es 1. Normalmente $a$ se toma como el día presente, por convención, pero se permite cualquier otra convención. La razón probable de esta convención es que la densidad de radiación actual es la cantidad que podemos medir más fácilmente cuando medimos la temperatura del fondo cósmico de microondas.

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .

Cham · Answer 2

¡Creo que lo tengo!

Me gustaría tener algunas confirmaciones de que todo el razonamiento a continuación es sólido y no incluye algunos errores que no puedo ver.

En general, el estado macroscópico de un fluido perfecto se puede describir mediante una relación politrópica como esta:

\begin{matrix} (1) & pag = norte k_{B} T = k {norte}^{γ}, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} p = n \, k_B \, T = \kappa \, n^{\gamma}, \end{equation}$ dónde

n = N / V

$n = N / V$ es la densidad de partículas,

k_{B}

$k_B$ es la constante de Boltzmann,

T

$T$ es la temperatura del fluido y

γ

$\gamma$ es el índice adiabático del fluido perfecto (tenga en cuenta que la temperatura suele ser una función de la densidad de las partículas;

T (n) \propto n^{γ - 1}

$T(n) \propto n^{\gamma \,-\, 1}$ , que físicamente tiene sentido cuando

γ \geq 1

$\gamma \ge 1$ ). La constante de proporcionalidad

κ

$\kappa$ es arbitrario y puede ignorarse por el resto de esta respuesta. La relación de estado habitual

pag = w ρ

$\begin{equation} p = w \, \rho \end{equation}$ entonces expresemos la densidad de energía

ρ

$\rho$ en términos de la densidad de partículas

n

$n$ . Si el parámetro de estado $w$ es una constante (

w \neq 0

$w \ne 0$ ), entonces

\begin{matrix} (2) & ρ \propto {norte}^{γ} \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \rho \propto n^{\gamma} \end{equation}$ La energía del fluido dentro de un volumen.

V

$V$ es entonces

\begin{matrix} (3) & mi = ρ V \propto {norte}^{γ} V^{1 - γ} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} E = \rho \, V \propto N^{\gamma} \, V^{1 \,-\, \gamma}. \end{equation}$ Su diferencial da

d E = - p d V

$dE = -\: p \; dV$ si el numero medio $N$ está arreglado también da

\begin{matrix} (4) & w = γ - 1, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} w = \gamma - 1, \end{equation}$ que sería útil a continuación. Por la primera ley de la termodinámica;

d E = T d S - p d V

$dE = T \; dS - p \; dV$ , esto implica que la entropía se conserva . Debido a la ecuación (2), podemos escribir la siguiente relación:

\begin{matrix} (5) & ρ V^{γ} \propto {norte}^{γ} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{5} \rho \, V^{\gamma} \propto N^{\gamma}. \end{equation}$ En el caso especial de un fluido perfecto hecho de partículas similares al polvo que no interactúan , la temperatura es despreciable;

p = n k_{B} T \approx 0

$p = n \, k_B \, T \approx 0$ , que es una buena aproximación si la densidad de partículas es muy baja. La masa propia total del polvo dentro de un volumen.

V \propto a^{3}

$V \propto a^3$ es

M = ρ V \propto N

$M = \rho \, V \propto N$ . Esto sugiere definir el índice adiabático

γ = 1

$\gamma = 1$ para la materia parecida al polvo (por supuesto, tenemos

w \equiv 0

$w \equiv 0$ ya que la presión es despreciable). Por lo tanto, la relación (5) sigue siendo buena incluso para el fluido hecho de "polvo" (

w = 0

$w = 0$ ).

En el caso de las partículas ultrarrelativistas (radiación), tenemos $w = \frac{1}{3}$ y la ecuación (4) da $\gamma = \frac{4}{3}$ , entonces la relación (5) da nuestro resultado final, usando $V \propto a^3$ :

\begin{matrix} (6) & ρ a^{4} \propto {norte}^{\frac{4}{3}} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{6} \rho \, a^4 \propto N^{\frac{4}{3}}. \end{equation}$

¿Le importaría explicar dónde está la ecuación diferencial? $dE = {-p}dV$ ¿viene de? Puedo ver cómo (3) combinado con esta ecuación da $w = \gamma - 1$ pero parece que estás afirmando que la ecuación diferencial también se sigue de (3).
si diferencias $E = \rho \, V$ , usando $\rho \propto (N/V)^{\gamma}$ , usted obtiene $dE = -\, (\gamma - 1) \rho \, dV$ (asumiendo que $N$ es una constante). De acuerdo con la primera ley de la termodinámica , esto debería ser $-\, p \, dV$ . Así, encuentras $p = (\gamma - 1) \, \rho$ . toma nota de que $p = w \, \rho$ ya está implícito desde el principio, ya que esto es lo que da $\rho \propto n^{\gamma}$ . Este no es un razonamiento circular. Solo muestra la consistencia de la relación $$\rho = n^{\gamma}, que se necesita para obtener $\rho \, a^4 \propto N^{4/4}$ (en el caso de la radiación).
Caray, 5 min es demasiado corto para editar el comentario anterior. ¡Signos de $ fuera de lugar ! Lo siento !
Estoy un poco oxidado con la termodinámica y, sinceramente, me gustaría encontrar un buen libro sobre el tema algún día, pero ¿no estás suponiendo una entropía constante desde el principio?
No se asumió la entropía constante. Me estoy poniendo $S = cste$ de $\rho \propto n^{\gamma}$ (ya que da $dE = -\, p \, dV$ ). Esto era necesario ya que la cosmología FLRW impone una entropía constante (la conservación de la energía-momento local da $dS = 0$ ).

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Cham

usuario36790

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