¿Fluidos perfectos en cosmología?

El artículo de Wikipedia sobre la ecuación de estado analiza esto.

Asunto

Considere primero la materia no relativista, porque esto es fácil. Escribimos la presión como:

$$p = \rho_m \space RT = \rho_m \space C^2$$

dónde$\rho_m$es la densidad de masa ,$RT$es la energía térmica de la materia (o lo que sea) en su fluido, y$C$es una especie de velocidad característica. La justificación para reemplazar$RT$por$C^2$es que la energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad.

$\omega$es dado por:

$$\omega = \frac{p}{\rho_e}$$

dónde$\rho_e$es la densidad de energía $\approx \rho_mc^2$, y reemplazando esto en la ecuación anterior obtenemos:

$$\omega = \frac{\rho_m C^2}{\rho_m c^2} = \frac{C^2}{c^2}$$

y por materia no relativista$C \ll c$entonces$\omega \approx 0$.

Radiación

Ahora considere la radiación, que es más difícil porque no podemos relacionarnos$p$a una densidad de masa. No conozco una forma intuitiva de mostrar esto, pero este artículo entra en los detalles del cálculo de la presión de radiación (¡es complicado!), y el resultado final resulta ser:

$$p = \frac{1}{3} \rho_e$$

y obviamente obtenemos inmediatamente$\omega$= 1/3.

constante cosmológica

Comience con la ecuación de Friedmann con una constante cosmológica distinta de cero,$\Delta$:

$$3\frac{\ddot{a}}{a} = \Delta - 4\pi G(\rho + 3p)$$

queremos tratar$\Delta$como presión efectiva y densidad de energía por lo que definimos:

$$p_{eff} = p - \frac{\Delta}{8 \pi G}$$

$$\rho_{eff} = \rho + \frac{\Delta}{8 \pi G}$$

Hacemos esto porque ahora la ecuación de Friedmann se simplifica a:

$$3\frac{\ddot{a}}{a} = - 4\pi G(\rho_{eff} + 3p_{eff})$$

como se puede ver simplemente sustituyendo por$p_{eff}$y$\rho_{eff}$para recuperar la ecuación original de Friedmann. Así que ahora obtenemos un valor efectivo para$\omega$:

$$\omega_{eff} = \frac{p_{eff}}{\rho_{eff}} = \frac{p - \frac{\Delta}{8 \pi G}}{\rho + \frac{\Delta}{8 \pi G}}$$

y si asumimos que la constante cosmológica es dominante, es decir$p \approx 0$y$\rho \approx 0$, obtenemos el valor de$\omega$porque solo la energía oscura es -1.