¿Qué ecuación de Friedmann es redundante?

Supongo que mucho de lo que constituye la(s) "Ecuación(es) de Friedmann" depende sólo de las definiciones. Sin embargo, con las 3 ecuaciones que enumeró, habrá redundancia.

Esta es la derivación normal que suelo ver (sáltate los dos primeros párrafos si no estás familiarizado con los tensores/GR):

Dada la ecuación de einstien en la forma$R_{\mu\nu}=-8 \pi G S_{\mu \nu}$, (dónde$S_{\mu \nu}$está relacionado con el tensor de energía de tensión por$S_{\mu \nu}=T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu \nu}T^\lambda_\lambda$) y jugando un poco con la parte espacial de la métrica de Robertson Walker (ver Cosmología de Weinburg), podemos obtener un tensor de Riemann$R_{ij}=\tilde{R}_{ij}-2\dot{a}^2 \tilde{g}_{ij}-a\ddot{a}\tilde{g}_{ij}$(tilde significa la métrica espacial y su tensor de curvatura) a$R_{ij}=-[2K+2\dot{a}^2+a\ddot{a}]\tilde{g}_{ij}$(dónde$K$es la constante de curvatura (-1,0,+1)).

Luego decidimos un tensor de energía de tensión, utilizando los principios de homogeneidad e isotropía (no queremos que haya una asimetría extraña), para obtener uno de la forma$T_{00}=\rho$,$T_{i0}=0$, y$T_{ij}=a^2p\tilde{g}_{ij}$. lo que nos da$S_{ij}=\frac{1}{2}(\rho-p)a^2\tilde{g}_{ij}$y$S_{00}=\frac{1}{2}(\rho+3p)$.

Usando todo esto, volviendo a conectar las EFE, obtenemos dos ecuaciones (una para i=j=0 y otra para el resto):

(1)$-\frac{2K}{a^2}-2\frac{2\dot{a}^2}{a^2}-\frac{\ddot{a}}{a}=-4\pi G (\rho - p)$

(2)$\frac{3\ddot{a}}{a}=-4\pi G(3p+\rho)$

Entonces, debido a que la primera ecuación es algo difícil de manejar, podemos sumar tres veces la primera ecuación a la segunda para obtener la mejor (y más familiar):

(3)$\dot{a}^2+K=\frac{8}{3}\pi G a^2$

También podemos obtener la siguiente ecuación de (1) y (2):

(4)$\dot{\rho}=-\frac{3\dot{a}}{a}(\rho + p)$

Lo que realmente no sorprende, ya que esta ley de conservación se encuentra en cualquier solución a las EFE.

Entonces, realmente, las ecuaciones que decidas llamar "Ecuaciones de Friedman" dependen de lo que hagas. (1) y (2) son las consecuencias directas de la derivación, que luego puedes usar para derivar (3) y (4). Simplemente resulta que para la mayoría de los cálculos de cosmología, no queremos usar (1), y los últimos 3 ((2)(3)(4)) son más útiles. Sin embargo, habrá redundancia dentro de estas 3 ecuaciones (después de todo, ¡provienen de solo dos ecuaciones)!

EDITAR: solo para abordar la pregunta de los OP:

Tomemos (2) y (4):

(2)$\frac{3\ddot{a}}{a}=-4\pi G(3p+\rho)$

(4)$\dot{\rho}=-\frac{3\dot{a}}{a}(\rho + p)$

Multipliquemos (2) por$\frac{2a\dot{a}}{3}$.

$\frac{2a\dot{a}}{3}[\frac{3\ddot{a}}{a}]=\frac{2a\dot{a}}{3}[-4\pi G(3p+\rho)] => 2\dot{a}\ddot{a}=-\frac{8}{3}\pi G(3p a\dot{a} + \rho a\dot{a})$

Un poco de álgebra complicada aquí:

$=>2\dot{a}\ddot{a} = \frac{8}{3}\pi G(-3 a\dot{a}(\rho+p) + 2\rho a\dot{a})$

Ahora sustituimos en la ecuación de conservación de la energía.

(5)$2\dot{a}\ddot{a} = -\frac{8}{3}\pi G(\dot{\rho}a^2+2\rho a \dot{a})$

¡Pero hey! Esto se parece a lo que obtendría si diferenciara la Ecuación de Friedmann (3), tenga en cuenta que$K$no depende del tiempo (si lo fuera, ¡sería una locura!). Dado que está integrando en lugar de diferenciando, tendrá constantes de integración, pero puede vincular eso con el$K$término (que es una forma bastante interesante de ver lo que$K$medio).

EDITAR: hacer un proceso similar le mostrará una forma de derivar (4) para empezar.