Interceptar otro satélite

Dados los elementos orbitales de dos satélites y las capacidades delta-V de uno de los satélites, ¿cómo puede calcular las maniobras requeridas para tener la intercepción más temprana posible?

Como referencia de lo que estoy tratando de hacer: tienes dos naves espaciales, y una de ellas está intentando disparar un misil a la otra. Las órbitas son conocidas, al igual que las propiedades del misil; el ángulo y el tiempo son lo que se necesita.

EDITAR: Los satélites están en el mismo plano orbital (sé que sería muy diferente si no lo estuvieran).

¿Tiene el misil una trayectoria de vuelo balística simple después de la fase de vuelo propulsado inicial, o es capaz de realizar correcciones a mitad de camino? Especialmente si se trata de un vuelo balístico sin motor, ¿el satélite objetivo tiene un presupuesto delta-v que le permite apartarse?
En esta etapa no me preocupa el vuelo después de la fase de potencia o las capacidades evasivas. Suponga que hay más que suficiente delta-V, solo que la tasa debe tenerse en cuenta (también que el combustible es un porcentaje insignificante del peso del misil).
"el combustible es un porcentaje despreciable del peso del misil" ¡Felicitaciones!
...en este ejemplo. Idealmente, es preferible una fórmula que pueda tenerlo en cuenta.
Creo que la masa de combustible no es relevante para esta pregunta: el misil puede ser un simple proyectil o una bala. La pregunta es sobre encontrar los elementos modificados que toma el proyectil y ajustar los ángulos de disparo para asegurar una intercepción.
La versión de "misil" es mucho más fácil que el encuentro, que es un problema tradicional, ya que solo deben coincidir las posiciones y no las velocidades.
@SF. Esa es una de las principales razones por las que las maniobras tradicionales no son aplicables.
@Garan: Ahora bien, ¿para qué estamos optimizando y cuáles son nuestras restricciones? Porque sin eso, simplemente apunte el misil a la posición del otro satélite y acelere al 99% de cy hemos terminado. ¿Menos delta-V? ¿Menos tiempo para impactar? ¿Trayectoria más corta? ¿Solo aceleración puntual al principio (pistola en lugar de misil)?
@SF. Estoy buscando el menor tiempo para impactar, y esperaba obtener una fórmula más general que tome la diferencia en la órbita y el empuje máximo del misil.
Al ver que el empuje, no el delta-v es el límite, llegamos a "no se conoce ninguna solución analítica". Esta es la optimización de la trayectoria típica de los impulsores de iones: períodos de impulso continuos y prolongados. Este tipo de trayectorias se obtienen mediante un proceso de optimización numérica.
Quiero decir: si simplificamos el problema: una masa central (satélites sin masa gravitacional), podemos escribir las ecuaciones de movimiento de todos los objetos, a través de Lagrangianos o Hamiltonianos bastante moderadamente complejos. Luego, podemos agregar fácilmente las ecuaciones del punto de lanzamiento (posición, velocidad de origen sat. igual a las del misil) ecuaciones del punto de impacto (posición del misil y el objetivo idénticos), y resolver el conjunto de ecuaciones, y obtenemos la ecuación de movimiento . Excepto que será una ecuación diferencial de segundo grado de aproximadamente... 23 variables, y hará llorar a todos los matemáticos.
Esto va a un programa de computadora. Mientras funcione al final, la cantidad de variables no es tan problemática. También ayuda que estén en el mismo plano orbital para que puedas reducir los elementos orbitales a 4 en lugar de 6.
Estoy votando para cerrar esta pregunta tan amplia como demasiado complicada de responder. Incluso el subconjunto mucho más fácil de esta pregunta: "¿Puedo transferir entre dos órbitas planas dadas xm/s Δ v " es desconocido dado órbitas arbitrarias, y esta pregunta complica esto por 1. requiere un punto específico en la órbita (intercepción), y 2. la forma más rápida de hacerlo.

Respuestas (2)

Suponiendo un problema de dos cuerpos restringido (despreciando la masa de los satélites y sin otras fuerzas en el trabajo), el problema se puede resolver con la búsqueda combinada con un solucionador para el problema de Gauss.

El problema de Gauss es el siguiente: dadas dos posiciones y el tiempo entre las posiciones, encuentre las velocidades en ambas posiciones, lo que en otras palabras encuentra la órbita. Denotaremos esto como ( v 1 , v 2 ) = GRAMO a tu s s PAGS r o b yo mi metro ( r 1 , r 2 , t ) .

Entonces, ¿cómo podemos usar el solucionador para interceptar el segundo satélite? Esto se hace asumiendo un tiempo de intercepción ( t ) (iteraremos para encontrar el mejor más adelante). Entonces, lo que hacemos ahora es que calculamos la posición del segundo satélite en el momento de la intercepción, lo que supongo que ya puede hacer (usando integración numérica o solucionador para el problema de Kepler). Denotaré esto como ( r ′ , v ′ ) = k mi pags yo mi r PAGS r o b yo mi metro ( r , v , t ) .

Ahora que tenemos dos posiciones (la posición actual del primer satélite, la posición del segundo satélite en el momento de la intercepción), podemos usar el solucionador del problema de Gauss para encontrar cuál debería haber sido la velocidad en la primera posición, si el primer satélite estaba en la órbita de intercepción.

Así que nuestra maniobra es simplemente entonces: Δ v = v 1 − v s a t mi yo yo i t mi 1 .

El algoritmo es el siguiente:

  1. Para cada t ∈ [ metro i norte , metro a X ] (toma un poco de rango)
  2. ( r ′ , _ ) = k mi pags yo mi r PAGS r o b yo mi metro ( r s a t mi yo yo i t mi 2 , v s a t mi yo yo i t mi 2 , t )
  3. ( v 1 , v 2 ) = GRAMO a tu s s PAGS r o b yo mi metro ( r s a t mi yo yo i t mi 1 , r ′ , t )
  4. Δ v = v 1 − v s a t mi yo yo i t mi 1
  5. Seleccione la maniobra que mejor se adapte a sus parámetros (tiempo de intercepción mínimo dados los requisitos de velocidad delta).

Algunas notas:

  1. Para una instancia de problema dada, un solucionador para el problema de gauss puede fallar.
  2. Los tiempos son relativos, no absolutos.
  3. Se supone que las maniobras se ejecutan en el momento actual. Calcular la intersección en un momento posterior puede generar una mejor intersección en términos de tiempo y deltaV.

Problema de Gauss

No estoy 100% seguro de cuál es el nombre correcto para el problema, ya que en Fundamentals of astrodynamics de Bate, Roger R., Donald D. Mueller y Jerry E. White denota esto como el problema de Gauss, otros como el problema de Lambert.

Para obtener un método para resolver el problema, debe consultar el libro mencionado, que contiene varios métodos, o consultar los siguientes enlaces: http://aerospacengineering.net/?p=1614 , http://www.dept. aoe.vt.edu/~cdhall/courses/aoe4134/Apiteration.pdf , https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lambert%27s_problem .

La única respuesta para esto es construir un simulador y probar una variedad de cosas. Aquí hay algunas cosas a tener en cuenta:

  1. Una órbita más baja es una órbita más rápida, lo que le permitirá alcanzar su objetivo. Una órbita más alta es más lenta, por lo que reducirá la velocidad para interceptar el objeto.
  2. Parece que desea una intercepción de alta velocidad, con un delta v inicial dado, y nada más. Eso parece muy poco probable que funcione, ya que tendrías que dar en el clavo, lo cual es muy difícil de lograr.

En pocas palabras, tomaría y dispararía un misil, vería qué tan lejos está del objetivo cuando ocurre la intercepción, y luego lo movería en el tiempo hasta que se cruce con el objetivo. Luego intente disparar en diferentes ángulos para ver qué sucede. Iterar hasta obtener la mejor solución.

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