¿Las transferencias entre dos órbitas son conmutativas?

TL; DR : No, las maniobras de empuje continuo introducen demasiadas complejidades para que la trayectoria de "retorno" sea una copia especular.

Para maniobras de empuje continuo, debemos considerar cuántos parámetros orbitales queremos cambiar a la vez y si planeamos tener una eficiencia mínima durante esa transferencia. Incluso si solo se cambia un parámetro orbital a la vez, todavía no podemos tener una trayectoria de espejo: esto se debe a que cada elemento orbital tendrá un efecto importante en el empuje óptimo para cambiar ese elemento, como se muestra en la Fig. 1 a continuación. Luego, si intentamos cambiar varios elementos orbitales a la vez, tenemos que seleccionar cuál de las seis leyes de control de "suma" queremos usar (Petropoulos, Ruggiero, Naasz y algunas más). Cada uno enfatizará el cambio de un elemento orbital más que otro, y todos conducirán a diferentes trayectorias de "retorno".

Por ejemplo, cambiar el semieje mayor (a) de 42164 km a 24396 km (alrededor de la Tierra) requiere 21 kg de combustible (suponiendo un motor Snecma PPS1350) y 45 días, mientras que pasar de 24396 km a 42164 km requiere 17 kg y solo 37 días.

NOTA: Ambas cifras son de Ruggiero y Pergola - IEPC 2011-102.

Fuentes: las de mi MSc. tesis sobre empuje continuo aplicado a diseños de misiones interplanetarias de retorno. También espero abrir el código de mi propagador en las próximas semanas o meses, lo que debería permitir que cualquiera pruebe una variedad de misiones y leyes de control para misiones de empuje continuo.

Dado que no hay efectos de un tercer cuerpo, arrastre atmosférico, etc., y una combustión instantánea, la cantidad de combustible requerida para cambiar a una órbita es la misma que se requiere para regresar a la órbita anterior. Esto supone lo siguiente:

1. La masa inicial es la misma.
2. No se gasta combustible en el mantenimiento de la estación.
3. Se mantiene la trayectoria inversa exacta.
4. El perfil del empuje es el mismo.

Sin embargo, para el caso de bajo empuje, el perfil del empuje cambia. Tienes más empuje al final de la maniobra, lo que cambiará ligeramente la trayectoria óptima. Sospecho que pasar a la órbita más cercana requeriría menos combustible que moverse a la más alta, pero no he hecho una simulación para probarlo. Sospecho que excepto en casos extremos, donde la mayor parte de la masa de la nave espacial es combustible, esto es esencialmente lo mismo.

La respuesta es no, excepto en el caso matemáticamente idealizado donde la masa de reacción utilizada es insignificante y el motor es un dispositivo idealizado capaz de generar cualquier fuerza hasta un máximo.

Consideremos una órbita de transferencia de Hohmann desde una órbita inferior a una órbita superior. Esto requiere un$\Delta \textbf{v}_1$fuera de la órbita inferior y un$\Delta \textbf{v}_2$para insertar en la órbita superior. La fuerza ejercida sobre la nave espacial durante uno de los encendidos es$\textbf{F}=m\textbf{a}$, dónde$m$es la masa de la nave espacial, que es una función del tiempo porque estamos gastando masa de reacción. La masa es grande durante la quema a baja altitud y más pequeña durante la quema a gran altitud.

Ahora invirtamos el movimiento en el tiempo. Bajo la inversión del tiempo,$\textbf{a}$permanece igual, lo que significa que$\textbf{F}$tiene la misma dirección. Pero$|\textbf{F}|$no permanece igual, porque$m(t)$ahora es una función diferente. En esta versión, la masa es grande durante el encendido a gran altitud y más pequeña durante el encendido a baja altitud. Esto rompe la simetría.

Sin embargo, cuando la masa de reacción es insignificante y el motor es un dispositivo idealizado capaz de generar cualquier fuerza hasta un máximo,$m(t)$es una función constante, y al invertir el tiempo la órbita mantiene$\textbf{F}$lo mismo.

Este argumento no depende de la suposición de una órbita de transferencia de Hohmann, que era solo ilustrativa. La única suposición era que el campo gravitatorio era estático.

En realidad, nada de esto depende en principio de si se trata de propulsión de bajo o alto empuje, aceleración continua o aceleración en arranques cortos. Sin embargo, debido a las altas velocidades de escape utilizadas en la propulsión de bajo empuje, puede ser una mejor aproximación decir que la masa de reacción es insignificante. Supongo que es por eso que, en el ejemplo numérico dado por la respuesta de ChrisR, hay al menos una simetría aproximada.