¿Número de satélites necesarios para una cobertura global cuádruple en función de la altitud?

Tal vez esté buscando una relación en la forma de (o preguntándose si tal relación existe):

Nmin(A_cap,n) = μ(n) * (A_Tierra/A_cap)

A_cap: área de cobertura instantánea de un solo satélite, constante en el tiempo (órbitas circulares), modelada como un casquete esférico.

Nmin: número más pequeño de satélites en una constelación práctica que puede proporcionar una cobertura de n veces continua.

μ(n): una constante de ajuste, independiente de A_cap, función de n.

Afortunadamente, tales relaciones aproximadas existen, y μ(4)~7.2, mientras que μ(1)~2.

Sin embargo, no conozco ninguna derivación matemática de μ(n), incluso para μ(1). En su mayoría, μ(n) se deriva de probar diferentes constelaciones construidas usando razonamientos heurísticos, como las llamadas constelaciones de Walker ( Wiki ).

• Caso n=1

Comencemos con n=1 para familiarizarnos con algunos resultados publicados.

Yuri Ulybyshev escribió una buena reseña en 2008 titulada Diseño de satélites para cobertura continua: breve estudio histórico

La Figura 1, reproducida aquí por conveniencia, da una gráfica para n=1 y Elevación =10° (que él llamó α).

Como usted mismo ha notado, si llama Phi al semiángulo del casquete esférico centrado en la Tierra que representa la cobertura individual, entonces A_cap=2 π RE2 (1-cos(Phi)) De modo que (A_Earth/A_cap) = 2 /(1-cos(Phi))

Lo que afirmo aquí es que el estrecho límite inferior de N que se muestra en la Figura 1 de Ulybyshev sigue la tendencia de la relación:

   Nmin= 4/(1-cos(Phi))

En otros términos, μ(1) ~ 2.

Aquí hay un punto de verificación para que estemos en la misma página con el cálculo detallado:

H=1000Km (y El=10°) => Phi =21,6° => 2/(1-cos(Phi))= 28,4 => Nmin=56,8

Este resultado (μ(1) ~ 2) fue obtenido de forma independiente por Beste en Diseño de constelación de satélites para una cobertura continua óptima . Tiene paredes de pago, pero la Figura 3 está disponible (reproducida aquí, ψ es el ángulo de medio cono que llamamos Phi).

• Caso n=4,

Lleva GPS. Dado que conocemos H (20200 Km), podemos calcular su Phi (66,3°), suponiendo que su Elevación de diseño es de 10° (una suposición razonable para Satnav). También sabemos que el GPS requiere 24 satélites. A partir de esto, podemos hacer una conjetura informada de que μ(4) ~ 7,2, suponiendo que los diseñadores de GPS optimizaron su constelación para un número mínimo de satélites.

Algunas notas sobre su enfoque, que creo que es bueno como aproximación de primer orden.

Al hacer esto, creo que estoy sobreestimando la cantidad de satélites.

Preferiría decir que tiene que ser una subestimación .

1. Los círculos no encajan perfectamente. Para lograr una cobertura de 1 pliegue, por ejemplo, debe haber cierta superposición, lo que requiere$\frac{2\pi}{3\sqrt{3}} \approx 1.21$veces más área del círculo.

Para coberturas de orden superior, la eficiencia de cobertura se aproximará asintóticamente$1$, pero para una cobertura de 4 pliegues no está claro que pueda hacerlo mejor que simplemente colocar cuatro capas de coberturas de 1 pliegue (e incluso si existe alguna solución más inteligente, solo será marginalmente mejor). Entonces, un 20% más de satélites solo a partir de la geometría estática del problema parece razonable.

2. Los satélites no son estáticos. Incluso si encuentra una solución geométrica que cubre todo el planeta 4 veces, es probable que se rompa instantáneamente cuando se tiene en cuenta el movimiento relativo requerido. El patrón de cobertura tiene que cambiar en función del tiempo, y es probable que necesite satélites adicionales para asegurarse de que la cobertura cuádruple se mantenga todo el tiempo en lugar de solo un instante específico.

Para algo que claramente es una sobreestimación, pero que funcionará, podría colocar satélites en planos de longitud, lo suficientemente ajustados para proporcionar una cobertura de 4 veces.

Un poco de malabarismo numérico inicial me da un máximo de eficiencia donde los aviones están separados por 1,55 radios de cobertura de un solo satélite, con los satélites en un plano espaciados 0,36 en radios.

Esto debería dar un límite superior comprobable, pero es ineficiente porque proporciona cantidades innecesarias de cobertura cerca de los polos.