¿Es esta una comprensión correcta de la ecuación del cohete de Tsiolkovsky?

La implicación de la ecuación del cohete es que los aumentos lineales en ∆v requieren aumentos exponenciales en la relación de masa para una sola etapa.

No hay estrictamente un delta-v máximo: si rehace su gráfico en una escala logarítmica, verá que no se vuelve vertical.

Obtener relaciones de masa muy altas (muy por encima de 10:1) es difícil de lograr en una sola etapa, por lo que existe un límite práctico de ∆v.

Los cohetes de etapas múltiples pueden alcanzar proporciones de masa total arbitrariamente altas (si tiene el presupuesto), por lo que los aumentos lineales en ∆v simplemente requieren aumentos exponenciales en la masa total.

La derivada de esa gráfica es una tasa de cambio de masa con respecto a la tasa de cambio de velocidad. Para un cohete en un punto particular del vuelo, indica cuánta masa propulsora debe gastarse para aumentar su velocidad en una cantidad determinada; para un cohete en el tablero de dibujo, indica cuánto propulsor más debe llevarse para aumentar su capacidad definida por ∆v.

No sé si hay alguna interpretación útil de la integral.

Su pregunta es sobre el comportamiento de la propia ecuación del cohete Tsiolkovsky , en el límite de masa final muy pequeña (masa seca ). Aproximadamente: " ¿hay algún límite para delta-v en teoría? "

Usando MathJax :

$$\Delta v=v_e \ln\frac{m_0}{m_f}.$$ Si solo observa la relación de velocidad y la relación de masa: $$\frac{\Delta v}{v_e}=\ln\frac{m_0}{m_f}=-\ln\frac{m_f}{m_0},$$ puedes ver que uno es solo el registro del otro. Log sigue aumentando para siempre, pero cada vez más lentamente. Nunca llega a una asíntota. Se dispara rápidamente en el gráfico lineal, pero si cambia el eje x de lineal a logarítmico, la relación de velocidad sigue aumentando.

Click para agrandar:

Si la masa final es una milmillonésima parte de la masa inicial, puede obtener un delta-v que es más de 20 veces la velocidad de escape. Teóricamente.

Así que creo que la respuesta a tu pregunta, desde el punto de vista matemático, basada en la ecuación del cohete, es no. Aquí no hay límite. Si su cohete está hecho de combustible puro, con una boquilla mágica sin masa, ¡puede ir muy, muy rápido!

Pero seguro, como sugieren las otras respuestas, un cohete físico que podemos construir y lanzar tiene un límite físico muy real (y hasta ahora muy costoso).

Aquí hay algo de código de Python para la trama:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mf_over_m0 = np.logspace(-0.5, -10, 20)

delta_v_over_ve = -np.log(mf_over_m0)

# that's it - the rest is just plotting @@!

fig = plt.figure(figsize=[16, 8])

xlab,   ylab   = "mf / m0",             "delta v / v exhaust"
title1, title2 = "x-axis linear scale", "x-axis log scale"

ax1 = plt.subplot(121, xlabel=xlab, ylabel=ylab, title=title1)
ax2 = plt.subplot(122, xlabel=xlab, ylabel=ylab, title=title2)

# from here: http://stackoverflow.com/a/14971193/3904031
for ax in [ax1, ax2]:
    for item in ([ax.title, ax.xaxis.label, ax.yaxis.label] +
                 ax.get_xticklabels() + ax.get_yticklabels()):
        item.set_fontsize(20)
    ax.invert_xaxis()

for ax in [ax1, ax2]:
    ax.plot(mf_over_m0, delta_v_over_ve, 'ok')
    ax.plot(mf_over_m0, delta_v_over_ve, '-b')
ax2.set_xscale('log')

plt.savefig("rocket equation question")
plt.show()

No, eso no es del todo correcto. Primero establezcamos y describamos la ecuación del cohete de Tsiolkovsky:

$\displaystyle \Delta v = V_e \times \ln(\frac{m_i}{m_f})$

$\Delta v$es delta v, el cambio de velocidad en km/s

$V_e$es la velocidad de escape efectiva en km/s (es otra forma de medir el impulso específico)

$\ln()$es simplemente el logaritmo natural , o logaritmo en base e (e es una interesante constante matemática aproximadamente igual a 2,7). Casi todos los cálculos científicos y gráficos tienen una función ln().

$m_i$y$m_f$son las masas inicial y final en kg

La razón de masas es solo eso, una razón. Entonces, si comenzamos con 100 kg y terminamos con 10, o comenzamos con 1000 kg y terminamos con 100, el cambio de velocidad seguirá siendo el mismo. Esto, por supuesto, asumió que Ve tampoco cambió.

Entonces, la ecuación es básicamente el logaritmo natural de una razón, r, luego multiplicada por una constante. Para analizar el comportamiento de cualquier asíntota, todo lo que realmente necesita comprender es el comportamiento de la función logarítmica natural.

Vaya a fooplot.com y escriba "ln(x)" sin comillas. Verá una curva negra. En este gráfico, nuestra razón r ahora se llama x e y representa el delta v.

Sí, hay una asíntota vertical a la izquierda , que coincide con el propio eje y. Esto implicaría algunas cosas realmente extrañas sobre un límite negativo ilimitado de delta v (¡así que podrías ir infinitamente rápido con una velocidad negativa!) ... excepto que nuestra relación no puede ser menor que 1 ... porque la masa inicial siempre es mayor que masa definitiva. Así es como funcionan los cohetes químicos. Queman masa y por lo tanto pierden masa. Siempre comienzas con más combustible del que terminas. En términos matemáticos, esto significa que el dominio válido comienza en x > 1. x <= 1 simplemente no es físicamente posible.

Ahora deberías notar que la curva se vuelve menos profunda a medida que avanza hacia la derecha. Quizás se pregunte si la curva tiene una asíntota horizontal. Si es así, esto de hecho establecería un máximo en delta v como sospecha. Pero la respuesta es no, no hay asíntota horizontal en el gráfico. La curva siempre se vuelve más y más alta a medida que avanza hacia la derecha... solo que en ángulos cada vez más superficiales.

Otra forma de decir eso es que los logaritmos se comportan con decaimiento exponencial. Sin embargo , "exponencial" se usa muy libremente en estos días. ¡No recomiendo esa terminología! ¡Solo para confundirlo más, una asíntota horizontal también se llama decaimiento exponencial! (de otro tipo).

Por cierto, puedes multiplicar "ln(x)" por el Ve que quieras y no cambiará el comportamiento del gráfico. Sin embargo, es una advertencia justa, si ingresa un número típico que usan los cohetes del mundo real, como 3,000 (m / s), tendrá que alejarse mucho para ver la curva. Por eso me gusta trabajar en km/s para que solo multipliques por 3.

En pocas palabras sobre la ecuación: no hay un delta v máximo. Si está dispuesto a aumentar exponencialmente la relación de masa, puede aumentar linealmente el delta v a cualquier valor alto que desee. Sin embargo, esto no significa que sea físicamente posible. Por supuesto, existen límites tecnológicos sobre la cantidad de empuje, calor y otras cosas que podemos lograr de manera controlable en nuestro cohete.

También preguntaste sobre la derivada y la integral. También mencionaste el inverso de la Ecuación del Cohete de Tsiolkovsky en tu segundo párrafo. Intentaré explicar lo que significan en una edición futura.