¿Fuerza de Lorentz en diferentes marcos de referencia?

Me he estado introduciendo a la relatividad especial y la electrodinámica relativista, y sentí curiosidad por la similitud de las fuerzas eléctricas y magnéticas. Estoy tratando de demostrar que las fuerzas de Lorentz magnéticas y eléctricas combinadas ejercidas por una hoja de carga en movimiento sobre una carga en movimiento son iguales a la fuerza eléctrica en el sistema en un marco de referencia comóvil, pero cometí un error en alguna parte. Agradecería algo de ayuda.

Una lámina con carga infinita (o muy grande) ejercerá una fuerza puramente eléctrica sobre una carga puntual con carga opuesta a cierta distancia por encima de ella. La fuerza apuntará en la dirección negativa de z y será igual a

$$F = \frac{Q\sigma}{2\epsilon_0}$$

Sin embargo, la fuerza presumiblemente debe ser la misma en todos los marcos de referencia, donde la lámina cargada y la carga puntual se mueven hacia la derecha (en la dirección x positiva) con velocidad$v$. En este marco, habrá tanto una fuerza magnética como una eléctrica.

Por la Ley de Ampere/Ley de Fuerza de Lorentz, la fuerza magnética apuntará en la dirección z positiva y será igual a

$$F=\frac{Q\mu_0\sigma v^2}{2}$$

Mientras que la fuerza eléctrica seguirá siendo la misma. La fuerza total será igual a

$$F=\frac{Q\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{Q\mu_0\sigma v^2}{2}$$

Lo que simplifica a

$$F = \frac{Q\sigma}{2}\left(\frac{1}{\epsilon_0}-\mu_0 v^2\right)$$

Y desde$\mu_0=\frac{1}{\epsilon_0 c^2}$, esto se puede reescribir

$$F = \frac{Q\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)$$

$$F = \frac{Q\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{\gamma^2}\right)$$

Ahora, presumiblemente, esto debe ser igual a la fuerza electrostática en el marco de referencia del laboratorio, así que traté de transformar la fuerza electrostática usando las identidades de la relatividad especial para la fuerza y ​​la contracción de longitud de la densidad de carga.

La fuerza de movimiento es igual a la fuerza en reposo dividida por el factor de Lorentz, y la densidad de carga debe aumentar por el factor de Lorentz.

Así que en lugar de lo deseado

$$F = \frac{Q\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{\gamma^2}\right)$$

yo obtengo

$$F = \frac{Q\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{\gamma}{\gamma}\right)$$

Lo cual obviamente está mal. Sólo estoy tratando de averiguar dónde está mi error. Me estoy enseñando a mí mismo el material y aún no tengo una comprensión sólida de la teoría gráfica o de 4 vectores de SR, por lo que esto puede ser un malentendido de mi parte.

Gracias.