Cuantización de un hamiltoniano

Question

Cuantización de un hamiltoniano

Física
espacio de hilbert
Transformada de Fourier
mecánica cuántica
osciladores acoplados
oscilador armónico

StarBucK

Mi pregunta es la siguiente:

Estoy estudiando una cadena de oscilador armónico 1D.

Mi hamiltoniano clásico contiene términos como $U_n$ dónde $U_n=x_n-x_n^0$ , representa la posición fuera del equilibrio de mi $n$ 'th átomo. Yo lo llamo $a$ el espaciado de mi celosía (así que tenemos $x_n^0=n.a$ )

Usando la transformada discreta de Fourier, podemos escribirlo como: $U_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}$ ( $N$ es el número de átomos en mi red).

Sé cómo cuantificar $U_n$ (Utilizo el principio de correspondencia, sé que pasaré de $U_n$ a $\widehat{U_n}$ que es un operador que actúa en el espacio de Hilbert, ya que es diagonal en la base de la posición y tiene $x_n-x_n^0$ valor propio para un ket $|x_n>$ . En efecto $U_n$ solo representa una posición "desplazada" desde el origen para que sepamos cómo cuantificarla.

Pero, ¿cómo cuantizar el lado derecho de la igualdad? Quiero decir, tendría un operador:

\hat{\frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{k} {tu}_{k} {mi}^{- i (k . norte . a)}}

$\widehat{\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}}$ (el sombrero tiene que cubrir toda mi expresión).

como saber si $\frac{1}{\sqrt{N}}$ se convertiría en un operador, por ejemplo? En efecto $N$ Cuál es el número de átomos en mi red entonces necesito cuantizarlo?

Creo que la respuesta aquí es que solo tengo que cuantificar $U_k$ pero me gustaria entender bien como puedo saber lo que tengo que cuantizar.

[editar]: ¿decidimos cuantizar una cantidad física si queremos ser más precisos en el cálculo? por ejemplo el $N$ aquí se puede cuantificar si quiero decir que el número de partículas en mi cadena tiene una cierta probabilidad de ser igual a un cierto valor? Entonces, ¿decidir cuantizarlo o no es solo una cuestión de "precisión" del modelo?

Respuestas (2)

Cuantización de un hamiltoniano

Kostya · Answer 1

La descripción de su sistema físico implica necesariamente algunas variables que "codifican" la configuración de su sistema: definen el espacio de configuración . Esas son usualmente llamadas las " coordenadas generalizadas ". En tu caso puedes elegir $q_n=x_n$ o $q_n=U_n$ o incluso $q_n={\cal F}[U_n]$ como el conjunto de coordenadas generalizadas, ya que cualquiera de ellas define de forma única la configuración de su sistema.

Usando las coordenadas generalizadas, luego define la dinámica de su sistema especificando su Lagrangiano ${\cal L}(q_n, \dot{q}_n, t)$ . A partir de él, puede obtener los momentos generalizados y derivar su hamiltoniano:

{pag}_{norte} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{norte}}

$p_n = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{q}_n}$

H ({pag}_{norte}, q_{norte}, t) = (\sum_{norte} {\dot{q}}_{norte} {pag}_{norte}) - L (q_{norte}, {\dot{q}}_{norte}, t)

${\cal H}(p_n, q_n,t) = \left(\sum_n \dot{q}_n p_n \right) - {\cal L}(q_n, \dot{q}_n, t)$

La cuantificación (bueno, en realidad se llama " la cuantificación canónica ") es un procedimiento de tomar las coordenadas generalizadas $q_n$ y momentos generalizados $p_n$ y diciendo que ahora son operadores. Con relaciones de conmutación:

[{\hat{q}}_{i}, {\hat{pag}}_{j}] = i ℏ d_{i, j}

$[\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{i,j}$

Ahora analicemos sus preguntas:

Debería $N$ ser operador?

No, desde que $N$ no es parte de su espacio de configuración.

¿Decidimos cuantizar una cantidad física si queremos ser más precisos en el cálculo?

N-no... En primer lugar, no cuantificamos cantidades. Cuantificamos la descripción del sistema. Y lo hacemos cuando los valores de $q_n$ y $p_n$ son lo suficientemente pequeños para $[\hat{q}_n, \hat{p}_n] = i\hbar$ ser algo que no podemos descuidar.

Por ejemplo, la "N" aquí se puede cuantificar si quiero decir que el número de partículas en mi cadena tiene una cierta probabilidad de ser igual a un cierto valor.

No precisamente. Puedes considerar $N$ ser una variable aleatoria. Puedes hacer un promedio sobre eso o lo que sea. Eso será como la mecánica estadística . Nada necesariamente cuántico allí.

Entonces, ¿decidir cuantizarlo o no es solo una cuestión de "precisión" del modelo?

En un sentido. La descripción clásica del mundo es la aproximación cuando consideramos $\hbar$ demasiado pequeño para que tengamos algún efecto visible. Cuando esta aproximación no es válida, debemos utilizar la descripción "exacta" de la realidad donde $q_n$ y $p_n$ son operadores que no viajan.

Lo que no entiendo del todo es lo siguiente. Tengo : $U_n=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k} U_k e^{-i(k.n.a)}$ ¿Cómo puedo saber el $U_k$ se convertirá en un operador aquí? Porque si sigo lo que dijiste, tengo que cambiar mis coordenadas generalizadas a operadores. Pero aquí tengo una transformada de Fourier, ¿cómo puedo vincularla con las coordenadas generalizadas? Tengo que usar el hecho de que $U_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n} U_n e^{+i(k.n.a)}$ , entonces depende de $x_n$ : tiene que ser transformado en operador?
Cualquier conjunto de valores que defina de forma única una configuración de su sistema puede servir como coordenadas generalizadas. Los valores de la transformada de Fourier de $U_n$ definir de forma única una configuración de su sistema. Así, la transformada de Fourier de $U_n$ puede servir como las coordenadas generalizadas.

greg petersen · Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de Kostya, pero sugeriría una forma alternativa de llegar a su cuantificación. En estos tipos de sistemas, la cuantificación se puede derivar de las condiciones de contorno impuestas al sistema. En este caso, tomaría un bucle finito de átomos de N. Esto da la condición de frontera

$U_n = U_{n + N}$

o

$\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_k U_k e^{-kna} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_k U_k e^{-i(kna + kNa)}$

lo cual solo es cierto cuando $kNa = 2m\pi$

lo que implica que

$k = \frac{2m\pi}{Na}$

dónde $m$ es un número entero. Esto a su vez es su cuantificación para el sistema. Si está trabajando con un sistema infinito, toma $N \to \infty$ y llegar a una k continua.

También puede aplicar este argumento a otras condiciones de contorno y cambiará el tipo de discretización para sistemas finitos. Sin embargo, el límite continuo permanece igual.

Gracias por su respuesta. De hecho, estoy muy interesado en lo que dijo "la cuantificación se puede derivar de las condiciones de contorno impuestas al sistema". Realmente nunca entendí el vínculo entre la aplicación de condiciones de contorno (y luego tenemos un conjunto de posibles k como escribiste) y la ""cuantización cuántica"" donde reemplazamos las variables de configuración "q" y "p" por sus operadores correspondientes . Lo que quiero decir es que llamamos a ambas cosas cuantización, pero para mí estas dos cosas son muy diferentes. ¿Existe un vínculo entre aplicar BC en vectores de onda y cambiar (q, p) a observables?
Sí, las condiciones de contorno limitan las posibles soluciones a su ecuación, pero también se pueden introducir, como señaló Kostya, en su espacio de configuración. Puede comenzar con una variable continua y terminar con una variable recíproca cuantificada como en el caso del pozo cuántico donde los límites de la pared dura cuantifican la energía, o puede comenzar con un sistema discretizado como el anterior y llegar a un sistema continuo o variable recíproca discreta dependiendo de las condiciones de contorno.

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