¿Inconsistencia en la hipótesis del universo matemático de Tegmark?

El físico Max Tegmark es ampliamente conocido por proponer que existe un multiverso donde las estructuras matemáticas existirían como universos reales y actuales ( https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis )

Ha sugerido que sus estructuras matemáticas serían completamente consistentes. Utiliza la definición de existencia matemática de Hilbert (que básicamente dice que mientras una estructura matemática sea consistente, existirá)

Pero publicó un artículo relativamente reciente ( https://arxiv.org/pdf/0704.0646.pdf ) donde dice:

Presumo que solo existen estructuras computables y decidibles (en el sentido de Gödel)

Esto me confundió mucho ya que los teoremas de incompletitud de Gödel deducen que la indecidibilidad implica consistencia y la decidibilidad implica inconsistencia.

Entonces, ¿Que esta pasando aquí? ¿Está proponiendo estructuras matemáticas inconsistentes como existentes ahora? ¿Cambió de opinión?

Esta confusión se agudiza al final del artículo, donde dice:

Según el CUH, la estructura matemática que es nuestro universo es computable y, por lo tanto, está bien definida en el sentido estricto de que todas sus relaciones pueden computarse. Por lo tanto, no hay aspectos físicos de nuestro universo que sean incomputables/indecidibles, eliminando la preocupación mencionada anteriormente de que el trabajo de Gödel lo hace de alguna manera incompleto o inconsistente.

Esto parece contradecir los teoremas de Gödel: si un universo fuera completamente decidible, definido y completo, ¿no significaría eso que sería inconsistente?

Según tengo entendido, eso significa que excluye de la consideración cualquier estructura que esté sujeta a incompletitud . Recuérdese que la primera incompletud de ‎Gödel dice que cualquier sistema axiomático que pueda representar la aritmética de los números naturales debe ser incompleto o inconsistente. Si descartas el molesto axioma de la inducción, ya no satisfaces las hipótesis.
2) Considere, por ejemplo, todos los programas que podría ejecutar en una computadora física real como su computadora portátil. Tiene una capacidad limitada, por lo tanto, no puede implementar la inducción. Entonces, cualquier estructura matemática que pueda calcularse en su computadora portátil está bien. Por supuesto, esto está muy lejos de "el universo es una estructura matemática". Representa un retiro sustancial de la OMI. Y es casi seguro que es falso. Por un lado, es inconsistente con la física conocida.
" Excluye gran parte del panorama de las estructuras matemáticas, sin mencionar que casi todas las teorías físicas exitosas hasta ahora violarían CUH ". Se puede interpretar que solo permite estructuras finitas (pero quizás muy grandes) y que trata las "infinitas" que usamos como aproximaciones asintóticas. Si el modelo es finito, la teoría que lo describe es consistente y completa (por ejemplo, álgebra booleana).

Respuestas (3)

Este CUH es tan incoherente como MUH (es decir, " todas las estructuras matemáticas existen "), aunque no tan obviamente. Para que " todas y sólo las estructuras matemáticas decidibles computablemente existan " sea una afirmación coherente, se debe suponer que la noción de "estructura computable" está bien definida y es absoluta. Sin embargo, la "estructura computable" no se puede definir sin asumir algo más o menos equivalente a la existencia de un modelo N de TC o PA − . ¡Pero Th(N) es indecidible para cualquier N, como una consecuencia trivial del teorema de incompletud de Gödel! Por lo tanto, toda la idea se cae de bruces.

¿Crees que todavía sería incoherente si se modificara para que, en lugar de la computabilidad de la máquina de Turing, se hablara de "computabilidad" por alguna máquina Oracle bien definida que fuera al menos lo suficientemente poderosa como para determinar si hay algún WFF en aritmética de primer orden? ¿ Qué era verdadero o falso en la aritmética verdadera ?
@Hypnosifl: pregunta interesante. Déjame pensarlo antes de volver contigo. =)
@Hypnosifl: creo que su NCUH modificado no es obviamente incoherente, pero no es absoluto. Debe asumir la existencia de un solo modelo contable ℕ de PA− que no podemos precisar , y luego afirmar que todas y solo las estructuras que son decidibles en relación con (pertenencia a) T = Th(ℕ), de manera equivalente en relación con ω- el salto de Turing, existe. Pero ahora hay un problema más profundo. Sea W el conjunto de todos los programas P computables por T de modo que P represente algún f(P) bien ordenado en un subconjunto de ℕ. Entonces W es contable y todo miembro de W existe por NCUH. [continuación]
[cont.] Resulta que ATR0 es suficiente para probar que cada par de W representa buenos ordenamientos compatibles (es decir, uno se incrusta en el otro). Ahora defina ◁ en W como la relación de incrustación estricta, que respeta el isomorfismo ≅. Sea V ⊆ W tal que todo P∈W satisface f(P) ≅ f(Q) para algún único Q∈V con Q≤P. (V representa W/≅.) ¡Entonces ◁ es un buen orden en V ⊆ ℕ! Así que ningún R∈W representa ◁↾V, de lo contrario ◁↾V ≅ f(R) ≅ ◁↾V[◁R], lo que genera una contradicción. Por lo tanto, si afirmamos NCUH, entonces la estructura ⟨V,◁↾V⟩ no puede existir, por lo que debemos negar las matemáticas relativamente simples (un poco más allá de ATR0) utilizadas para construir V.

Una hipótesis a menudo descuidada, pero crucial, del teorema de incompletitud de Gödel es que la teoría en cuestión es lo suficientemente fuerte : basta con que la teoría pueda discutir la teoría de la aritmética entera.

Un ejemplo estándar de una teoría decidible es (la axiomatización de Tarski de) la geometría euclidiana. O básicamente lo mismo, la teoría de primer orden de la aritmética de números reales (llamada "campo cerrado real").

(La afirmación de que la teoría de la aritmética de números reales no puede discutir la teoría de la aritmética de números enteros puede ser sorprendente; sin embargo, el punto es que no estamos preguntando cómo calcular operaciones, sino cómo discutir cuestiones como si ciertas ecuaciones tienen soluciones enteras En la teoría de primer orden de la aritmética real, no puedes definir qué significa ser un número entero y, por lo tanto, si bien puedes preguntar si ciertas ecuaciones tienen una solución, no puedes preguntar si alguna de las soluciones son números enteros.

Lo que dices es cierto, pero CUH sigue siendo incoherente por una razón diferente.

Hilbert era un formalista. No quiso decir que simplemente porque un sistema formal era consistente entonces las cosas a las que se referían los símbolos realmente existen. Simplemente lo tomó en el sentido de que se puede trabajar con el sistema formal y seguir dando respuestas útiles.

La posición que le atribuyes a Hilbert se llama realismo matemático: que los objetos matemáticos consistentes realmente existen.

Los teoremas de incompletud de Gödel no decían que la indecibilidad implique consistencia. Pero simplemente que la decidibilidad implica inconsistencia. Y esto en cualquier teoría que apoye los axiomas de Peanos para la aritmética.

Se puede demostrar que la geometría euclidiana elemental, que es la geometría euclidiana casada con la lógica de primer orden sin ninguna teoría de conjuntos, es completa y consistente. Esto lo hizo Tarski en 1951. Y podemos deducir de esto que es un sistema más débil que la aritmética.

Además, la teoría de los campos cerrados reales también está completa. Esto también lo logró Tarski en 1940. Resulta que esto está relacionado con el ejemplo anterior, ya que la geometría euclidiana elemental es un modelo de algún campo cerrado real.

No soy un gran admirador de las teorías de Tegmark, así que me detendré aquí.

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