Impulso de Lorentz del espinor de Dirac

Question

Impulso de Lorentz del espinor de Dirac

miniplanck

Dejar $\psi_\vec{0}^+$ sea una función de onda de Dirac que describa una partícula inmóvil,

ψ_{\vec{0}}^{+} (X) = \sqrt{2 metro} (\begin{matrix} x \\ 0 \end{matrix}) {mi}^{i pag \cdot X}

$\psi_\vec{0}^+(x) = \sqrt{2m} \begin{pmatrix} \chi \\ 0 \end{pmatrix} e^{ip \cdot x}$

dónde $p = (m, \vec{0})$ . Actuado por un impulso de Lorentz, digamos, en el $\vec{x}$ dirección, quiero mostrar que

ψ_{\vec{0}}^{+} (X) \to tu (\vec{q}) {mi}^{i q \cdot X}

$\psi_\vec{0}^+(x) \to u(\vec{q})e^{iq\cdot x}$

dónde $q = (E_\vec{q},\vec{q})$ .

Mi intento

Usé el procedimiento habitual para transformar los espinores de Dirac:

ψ_{\vec{0}}^{^{'} +} (X) = {tu}_{d_{X}} ψ_{\vec{0}}^{+} (X) = S (d_{X}) ψ_{\vec{0}}^{+} (Λ^{- 1} X)

$\psi_\vec{0}^{'+}(x) = U_{\delta_x} \psi_\vec{0}^+(x) = S(\delta_x) \psi_\vec{0}^+(\Lambda^{-1}x)$

dónde $\delta_x$ es la rapidez . Desde $p \cdot \Lambda^{-1} x = \Lambda^{-1}p \cdot x$ ,

Λ^{- 1} pag = (\begin{matrix} aporrear (d_{X}) & pecado (d_{X}) \\ pecado (d_{X}) & aporrear (d_{X}) \end{matrix}) (\begin{matrix} metro \\ \vec{0} \end{matrix})

$\Lambda^{-1}p = \begin{pmatrix} \cosh(\delta_x) & \sinh(\delta_x) \\ \sinh(\delta_x) & \cosh(\delta_x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ \vec{0} \end{pmatrix}$

Por fin, queda por transformar el espinor de Dirac, $u(\vec{p})$ . Usando $S(\delta_x) = e^{\frac{i}{4}\omega_{\mu \nu} \sigma^{\mu \nu}}$ obtenemos

S (d_{X}) = {mi}^{\frac{d_{X}}{2} (\begin{matrix} 0 & σ_{X} \\ σ_{X} & 0 \end{matrix})}

$S(\delta_x) = e^{\frac{\delta_x}{2} \begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}}$

Mi problema es simplificar esta exponencial. Según Peskin & Schroeder, esto debería producir algo con $\cosh(\delta_x)$ y $\sinh(\delta_x)$ , pero no puedo ver cómo!

Editar : hubo un factor 4 que estaba mal, como @G. declaró Smith.

Edición 2 : faltaba una columna vectorial en $\Lambda^{-1}p$ .

G. Smith

Mi problema es simplificar esta exponencial. Una matriz exponencial se define por su serie de Taylor, que debe calcular.

mike piedra

¿Ha calculado el cuadrado de la matriz con la

σ_{x}

$\sigma_x$ matrices? Una vez que haya hecho esto, el cálculo debería ser fácil.

G. Smith

Verificaría dos veces ese 4 en el denominador. Creo que puede ser 2 en su lugar.

Zumbido

Si está utilizando la representación quiral de la

γ

$\gamma$ -matrices (como lo hacen Peskin y Schroeder), entonces su expresión inicial no describe una partícula estacionaria en primer lugar.

Respuestas (1)

Impulso de Lorentz del espinor de Dirac

Mi problema es simplificar esta exponencial. Una matriz exponencial se define por su serie de Taylor, que debe calcular.
¿Ha calculado el cuadrado de la matriz con la $\sigma_x$ matrices? Una vez que haya hecho esto, el cálculo debería ser fácil.
Verificaría dos veces ese 4 en el denominador. Creo que puede ser 2 en su lugar.
Si está utilizando la representación quiral de la $\gamma$ -matrices (como lo hacen Peskin y Schroeder), entonces su expresión inicial no describe una partícula estacionaria en primer lugar.

miniplanck · Answer 1

Gracias a @G. Smith y @mike stone, llegué a una solución.

Expansión en serie de Taylor,

S (d_{X}) = {mi}^{\frac{d_{X}}{2} (\begin{matrix} 0 & σ_{X} \\ σ_{X} & 0 \end{matrix})} = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(d_{X} / 2)^{norte}}{norte!} {(\begin{matrix} 0 & σ_{X} \\ σ_{X} & 0 \end{matrix})}^{norte}

$S(\delta_x) = e^{\frac{\delta_x}{2} \begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\delta_x/2)^n}{n!}\begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}^n$

Agrupación de términos pares e impares,

\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(d_{X} / 2)^{norte}}{norte!} {(\begin{matrix} 0 & σ_{X} \\ σ_{X} & 0 \end{matrix})}^{norte} = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(d_{X} / 2)^{2 norte}}{(2 norte)!} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(d_{X} / 2)^{2 norte + 1}}{(2 norte + 1)!} (\begin{matrix} 0 & σ_{X} \\ σ_{X} & 0 \end{matrix})

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\delta_x/2)^n}{n!}\begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\delta_x/2)^{2n}}{(2n)!}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\delta_x/2)^{2n+1}}{(2n+1)!}\begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}$

Recordando la expansión de la serie de Taylor para cosh( $x$ ) y sinh( $x$ ) obtenemos

S (d_{X}) = aporrear (d_{X} / 2) + pecado (d_{X} / 2) (\begin{matrix} 0 & σ_{X} \\ σ_{X} & 0 \end{matrix})

$S(\delta_x) = \text{cosh}(\delta_x/2) + \text{sinh}(\delta_x/2) \begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}$

Ahora podemos aplicar S( $\delta_x$ ) para ti( $\vec{p}$ ):

S (d_{X}) tu (\vec{pag}) = \sqrt{2 metro} (\begin{matrix} aporrear (d_{X} / 2) & σ_{X} pecado (d_{X} / 2) \\ σ_{X} pecado (d_{X} / 2) & aporrear (d_{X} / 2) \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ 0 \end{matrix}) = \sqrt{2 metro} (\begin{matrix} aporrear (d_{X} / 2) x \\ σ_{X} pecado (d_{X} / 2) x \end{matrix})

$S(\delta_x)u(\vec{p}) = \sqrt{2m} \begin{pmatrix} \cosh(\delta_x/2) & \sigma_x \sinh(\delta_x/2)\\ \sigma_x \sinh(\delta_x/2) & \cosh(\delta_x/2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi \\ 0 \end{pmatrix} = \sqrt{2m}\begin{pmatrix} \cosh(\delta_x/2)\chi \\ \sigma_x \sinh(\delta_x/2) \chi \end{pmatrix}$

Desde $E_\vec{q} = m \cosh(\delta_x)$ y $\vec{q} = m \sinh(\delta_x) \vec{e_i}$ y usando

aporrear (d_{X} / 2) = \sqrt{\frac{aporrear (d_{X}) + 1}{2}}

$\cosh(\delta_x/2) = \sqrt{\frac{\cosh(\delta_x)+1}{2}}$

bronceado (d_{X} / 2) = \frac{pecado (d_{X})}{aporrear (d_{X}) + 1}

$\tanh(\delta_x/2) = \frac{\sinh(\delta_x)}{\cosh(\delta_x)+1}$

obtenemos

tu (\vec{q}) = \sqrt{{mi}_{\vec{q}} + metro} (\begin{matrix} x \\ \frac{\vec{σ} \cdot \vec{q}}{{mi}_{\vec{q}} + metro} x \end{matrix})

$u(\vec{q}) = \sqrt{E_\vec{q}+m} \begin{pmatrix} \chi \\ \frac{\vec{\sigma} \cdot \vec{q}}{E_\vec{q}+m} \chi \end{pmatrix}$

como queríamos!

Editar: Había un $\sigma_x$ desaparecido, como @G. Smith señaló amablemente.

Parece que te falta un $\sigma_x$ en la parte inferior derecha de la cuarta línea de matemáticas.

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