Sé que la topología, el álgebra abstracta, la teoría K , la geometría riemanniana y otras, pueden usarse en física. ¿Algunas de estas áreas se usan en astronomía y algunas teorías astronómicas se basan en ellas?
No estoy considerando cálculo , álgebra lineal u otros cursos comunes en los primeros años de la universidad, para muchos, como ingeniería, etc.
En astronomía per se , se utilizan pocas matemáticas avanzadas, excepto estadística, propagación de errores y en el diseño de instrumentos ópticos. Sin embargo, tan pronto como empieces a pasar de la astronomía pura a la astrofísica, tendrás la oportunidad de utilizar toda la gama de, como dijo una vez muy memorablemente un estudiante de posgrado conocido mío, las matemáticas Jedi . La cosmología y la gravitación son especialmente pesadas. (Vaya, sin juego de palabras). De hecho, la vanguardia de la astrofísica y su pariente cercano, la física de partículas, han sido históricamente los principales impulsores de la investigación matemática pura.
Cabe señalar que la astronomía y la astrofísica están tan entrelazadas que prácticamente no existe un astrónomo verdaderamente puro, ni ningún esfuerzo de investigación puramente astronómico, por lo que la distinción es bastante artificial.
En mi opinión, las otras dos publicaciones que se encuentran actualmente aquí no resumen una respuesta simple.
Respuesta corta: Depende completamente de tu especialidad en astronomía/astrofísica/ciencia planetaria. No es como, digamos, contabilidad, donde cualquiera que practique contabilidad necesita tener un conjunto de matemáticas que debe saber. Más bien, es más como preguntar: "¿Qué biología necesito saber si quiero estudiar medicina?" La respuesta depende totalmente de lo que quieras hacer con ella.
Respuesta más larga: Para reiterar lo que dijo Andrew, primero debemos establecer la diferencia entre "astronomía" y "astrofísica". La mayoría considera que lo primero es lo que la gente hacía, en general, antes de alrededor de 1900. La "astronomía" se considera la mayor parte de las cosas básicas de observación. "Astrofísica" es más agregar la teoría a las observaciones, y observaciones mucho más detalladas y rigurosas.
Si es un observador, necesita saber mucho sobre estadísticas, análisis de errores, modelos de ruido, procesamiento de señales y óptica.
Si te dedicas a la espectroscopia, necesitarás saber mucho sobre la teoría de Fourier, la difracción y mucho sobre la óptica.
Si estudias cosmología, necesitarás mucho cálculo, geometría de Riemann, relatividad general y matemáticas relacionadas, etc.
Si estudias dinámica, necesitarás estudiar una gran cantidad de métodos de codificación y formas de aproximar la gravedad en simulaciones de millones de partículas (cosas de K-tree), búsqueda y clasificación, y mucha teoría dinámica.
Solar y te adentras en lo que la mayoría considera la física más difícil: la magnetohidrodinámica. Entonces, campos magnéticos, electricidad, mecánica de fluidos, turbulencia, teoría nuclear y algo de mecánica cuántica.
Planetario y necesitas saber de turbulencia, atmósferas, estadística, geología, convección, etc., pero hasta ahí tienes tantas especialidades que cada una se vale de lo suyo.
Después de escribir esto, me doy cuenta de que he especificado más los campos de la física que los campos reales de las matemáticas que necesita; Si bien esto no responde a su pregunta de manera tan directa, creo que puede ser más informativo en general. Cada uno de estos generalmente requiere estadísticas y análisis de errores, álgebra básica y al menos un conocimiento práctico de cálculo. Una vez que ingrese a su especialidad, deberá especializarse, y realmente necesitará preguntar sobre ese campo y encontrar a alguien que lo sepa más que solo hacer la pregunta general que hizo.
En resumen, la geometría pseudo-riemanniana se usa en la relatividad general, el análisis de ecuaciones diferenciales se usa ampliamente para teorías sobre objetos como estrellas, y los observadores usan métodos estadísticos bastante avanzados para sus grandes conjuntos de datos. He tratado de proporcionar algunos ejemplos accesibles de dónde se usan las matemáticas. No creo que haya tanto uso de las matemáticas abstractas como en la física teórica. Pero, de nuevo, tampoco estoy seguro de cuánto de eso es porque es realmente útil...
La geometría (pseudo-)riemanniana es importante porque ese es el contexto en el que se formula la relatividad general. Esto ya no es tan teórico, porque observar ondas gravitacionales (o intentarlo...) es un tema bastante candente en este momento. La geometría no euclidiana es probablemente la sección de matemáticas más utilizada.
Aparte de eso, diría que muchas teorías estructurales (estrellas, planetas, discos de acreción, etc.) se basan en ecuaciones diferenciales no lineales acopladas. Por lo tanto, todas las técnicas analíticas asociadas para tratar con ED no lineales son relevantes. Por ejemplo, podría surgir el análisis de estabilidad lineal (encontrar sistemas propios de jacobianos y otras cosas). Lo he visto hacer para la ecuación de Lane-Emden y para los flujos de acreción en los agujeros negros.
Hay bastante análisis numérico que ahora es necesario debido a todo el trabajo computacional que se realiza. La mayoría de los teóricos deben estar bien versados en los métodos numéricos utilizados en su campo particular. Podrías leer, por ejemplo, la introducción de Price a la hidrodinámica de partículas suavizadas si eso fuera lo tuyo. O puede leer sobre métodos de relajación en cualquier libro de texto sobre estructura y evolución estelar, por ejemplo, la Sección 4.7c de Los fundamentos de la astrofísica estelar de Collin . No creo que estos se incluyan generalmente en la enseñanza de pregrado junior.
Finalmente, los observadores emplean muchas estadísticas . Algo de lo que no había oído hablar durante la licenciatura era la prueba de Kolmogorov-Smirnov para determinar si dos poblaciones se extraen de la misma distribución. (Al menos, creo que para eso es...) No estoy muy versado en estadísticas, así que no estoy seguro de qué califica como más o menos avanzado en ese tema.