Importancia de la excepción al teorema de Gleason cuando n = 2

Creo que el enunciado particular del teorema de Gleason es realmente importante para dilucidar esta ambigüedad percibida. Wikipedia lo dice como:

Teorema. Supongamos que H es un espacio de Hilbert separable de dimensión compleja de al menos 3. Entonces, para cualquier medida de probabilidad cuántica en la red Q de operadores de proyección autoadjuntos en H, existe un operador de clase traza único W tal que P(E) = Tr(WE ) para cualquier proyección autoadjunta E en Q.

Apuesto a que esta es la declaración con la que la mayoría de nosotros estamos familiarizados. Sin embargo, creo que su declaración para C * álgebras aclara su pregunta:

Definición. Dejar$\rho: \mathcal{P} \to [0, 1]$tal que para cada familia finita$\{ P_1, ..., P_n: P_i \in \mathcal{P} \}$de proyecciones ortogonales por pares tenemos$\rho(\sum_{i=1}^n P_i) = \sum_{i=1}^n \rho(P_i)$, después$\rho$es una medida finitamente aditiva en$\mathcal{P}$.

Si la familia no es finita, sino contable, entonces$\rho$es una medida sigma-finita.

Teorema. Si$\dim(\mathcal{H}) \neq 2$entonces cada medida finitamente aditiva en$\mathcal{P}$puede extenderse únicamente a un estado en$\mathcal{B}(\mathcal{H})$. A la inversa, la restricción de todo estado a$\mathcal{P}$es una medida finitamente aditiva en$\mathcal{P}$.

Lo mismo ocurre con las medidas sigma-finitas y los estados normales: cada medida sigma-finita se puede extender a un estado normal y cada estado normal se restringe a una medida sigma-finita.

Claramente, si la dimensión de su espacio es 2, entonces su medida no puede extenderse únicamente a un estado en el conjunto de operadores acotados de su espacio de Hilbert. Aquí, un estado se considera como una matriz de densidad y, por lo tanto, es un operador acotado en su espacio de Hilbert. Esto significa que una medida tiene múltiples estados asociados o no existe tal extensión. En el primer caso, esto significa que el conjunto de proyecciones ortogonales en su espacio de Hilbert no es suficiente para determinar un estado único. El primer caso no puede ocurrir para un espacio de Hilbert proyectivo ya que la única diferencia sería una fase. Así, el segundo caso debe ser el problema. Esto significa que existen medidas de probabilidad en sus proyecciones que no corresponden a un estado.

Sin embargo, creo que ocurre lo contrario, ya que cualquier estado dado restringido a$\mathcal{P}$hay una medida finitamente aditiva correspondiente. Teniendo en cuenta la segunda declaración del teorema, la respuesta a su pregunta es que los "estados" son objetos a priori independientes de las medidas de probabilidad. Este teorema nos permite interpretar estados como una medida de probabilidad pero aparentemente no podemos tomar la medida de probabilidad como la definición de un estado en dos dimensiones. Si desea etiquetar estados por medidas de probabilidad, no tiene suerte en dos dimensiones.

Para ver un contraejemplo claro, consulte esta referencia en la que basé mi respuesta.

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Actualización 26 de junio

Otra forma de considerar cómo debe relacionarse la medida con un estado es comenzar con el conjunto de todos los estados generales posibles del Espacio de Hilbert bidimensional y ver cómo debe verse la medida. Podemos representar un vector arbitrario en términos de la base$\{|u_1\rangle, |u_2\rangle\}$:

$$|v\rangle = \cos(\beta)|u_1\rangle + e^{i\alpha}\sin(\beta)|u_2\rangle$$

Reconocemos que lo anterior es realmente una clase de equivalencia de vectores relacionados por una fase general. Podemos encontrar el operador de densidad para el estado puro arriba:

$$\rho_v = |v\rangle \langle v| = \left( \begin{array}{ccc} \cos^2\beta & e^{i\alpha}\sin\beta\cos\beta \\ e^{-i\alpha}\sin\beta\cos\beta & \sin^2\beta \end{array}\right)$$

Podemos escribir nuestra medida como una función continua$f_v(|u\rangle) = \langle u|\rho_v |u \rangle$dónde$|u\rangle$es un elemento arbitrario de nuestro Espacio de Hilbert proyectivo bidimensional. Eso significa que se puede expandir de la misma manera que el vector que determinó nuestro estado:

$$|u\rangle = \cos\theta|u_1\rangle + e^{i\phi}\sin\theta|u_2\rangle$$

Nuestra función se escribe como:

$$f_v(|u\rangle) = \langle u| \rho_v |u \rangle = f_v(\theta,\phi)$$

Después de algunos cálculos obtenemos que nuestra medida está dada por:

$$\begin{align*}f_v(\theta,\phi) &= \cos^2\beta\cos^2\theta + \sin^2\beta\sin^2\theta \\ &+ 2\cos(\alpha-\phi)\sin\beta\cos(\beta)\sin\theta\cos\theta \end{align*}$$

Para estados mixtos tenemos:

$$\rho_m = \sum_{v} p_v \rho_v$$

$$\begin{align*}f_m(\theta,\phi) &= \sum_{v} p_v\big[ \cos^2\beta_v\cos^2\theta + \sin^2\beta_v\sin^2\theta \\ &+ 2\cos(\alpha_v-\phi)\sin\beta_v \cos\beta_v\sin\theta \cos\theta\ \big] \end{align*}$$

Sin pérdida de generalidad podemos simplificar la medida para cualquier estado como:

$$f(\theta,\phi) = c_{11} \cos^2\theta + c_{22}\sin^2\theta + \big(c_{12}e^{i\phi} + c_{21}e^{-i\phi}\big)\sin\theta \cos\theta$$

Lo que obtenemos son los armónicos esféricos,$Y_{0}^{0}$y$Y_{2}^{m}$para todos los valores de m permitidos. Esto se sigue del hecho de que nuestro producto interno es una forma bilineal. Resulta que, para cualquier función en espacios vectoriales reales o complejos de dimensión 3 o más, cualquier medida continua finitamente aditiva puede expandirse en términos de este conjunto de armónicos esféricos. En 3 dimensiones, todas las medidas finitamente aditivas deben ser rotacionalmente invariantes, por lo que los armónicos esféricos dan las transformaciones que codifican esta invariancia. Los armónicos esféricos están, en cierto sentido, "incorporados" a estas medidas.

En espacios vectoriales bidimensionales tenemos medidas finitamente aditivas que no requieren ser rotacionalmente invariantes en 3 dimensiones, solo 2 dimensiones, lo que significa que se permitirán funciones cilíndricas simétricas. Las funciones cilíndricamente simétricas incluyen$\cos(n\theta)$por ejemplo y por lo tanto no tienen expresión en términos de términos cuadráticos. Sin la restricción impuesta por la transformación bajo los armónicos esféricos, no hay forma de relacionar una forma bilineal con la medida.

Mi argumento físico para no permitir estas medidas como estados sería el siguiente: cualquier espacio de Hilbert bidimensional que estudiemos con toda probabilidad es un subespacio de un espacio de Hilbert dimensional más grande. En esos espacios estas medidas bidimensionales no estarían permitidas ya que carecen de invariancia rotacional tridimensional. Si estos estados no pueden integrarse en un espacio más grande, entonces no pueden ser físicos.