Implementación de un modelo de átomo simple utilizando la teoría del funcional de la densidad (DFT)

Estoy tratando de escribir un código de computadora que encuentre la función de energía y densidad para un átomo con$Z$protones y$N$electrones Estoy trabajando en 1D por simplicidad y me gustaría hacer que el código general sea lo más simple posible (también estoy usando unidades Hartree). También estoy usando la aproximación de Hartree. Este es mi algoritmo general:

1. Encuentra hidrógeno como funciones de onda (es decir, sin interacción electrón-elección)

2. Calcula la función de densidad a través de$n(z) = \sum_i \left | \phi_i(z) \right |^2$

3. Resuelve el potencial de Hartree$V_H(r) = \int_0^\infty \frac{n(\vec{s})}{\left | \vec{r}-\vec{s} \right |} d\vec{s}$

4. Utiliza la ecuación de Kohn-Sham para encontrar nuevas funciones de onda individuales$\left (-\tfrac{1}{2}\bigtriangledown^2 + \frac{Z}{\left |r \right |} + V_H(\vec{r}) + V_{EX}(\vec{r}) \right )\phi_i = \varepsilon_i \phi_i$

5. Vuelva al paso 1 y repita.

Estoy teniendo una serie de dificultades y estaría muy agradecido por alguna ayuda con cualquiera de mis preguntas.

En primer lugar, para calcular el potencial de Hartree, necesito convertirlo en un problema 1D, por lo que asumimos una distribución de carga esférica uniforme:

$V_H(r) = \int_0^\infty 4\pi s^2 \frac{ n(s)}{\left |r-s\right |} ds$

Sin embargo, esto explota cuando$r = s$. He estado investigando la ley de Gauss pero no tuve suerte.

Además, no estoy seguro de cómo calcular el término de correlación de intercambio. Estoy tratando de encontrar una función que pueda implementar fácilmente.

Cualquier ayuda sería genial.