confusión en la transformada discreta para resolver la ecuación de la matriz de kronig penney en el espacio de Fourier

Tengo un potencial periódico

V ( X ) = ∑ k mi i k X V k = ∑ norte mi yo 2 π norte X / a V norte
dónde k = 2 π norte a es el vector de red recíproca y a es la constante de red y norte = ± 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3... pronto. quisiera encontrar los coeficientes de fourier V k = V norte correspondiente a un determinado k o norte . Supongamos que tengo un vector para V ( X ) tener 10000 puntos para
X = 0 , 0.01 a , 0.02 a , . . . a , 1.01 a , . . . .2 a . . . .99 .99 a
tal que el tamaño de mi red es 100 a . Ahora norte también irá de − 50 a + 49 . Por lo tanto, he definido el potencial para 10000 puntos en una red 1D de 100 átomos. FFT en este vector da 10000 coeficientes de Fourier. Por la teoría de la transformada discreta de Fourier ( http://www.robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/SP/l7.pdf ), el k los valores correspondientes a estos coeficientes de Fourier son 2 π norte ( norte X ) dónde norte es el no. de lecturas = 10000 cada una separada por espaciado X = 0.01 a con norte = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .9999 .

Pero comencé con k que tenía la forma k = 2 π norte a . Qué me estoy perdiendo ? ¿Cómo encuentro correctamente los coeficientes de Fourier? V k numéricamente usando DFT (se puede usar el método de transformada rápida de Fourier en Matlab)?

Para obtener referencias sobre la ecuación de la matriz espacial de Fourier de Kronig Penney, consulte aquí http://www.physics.buffalo.edu/phy410-505/topic5/index.html

Respuestas (1)

Primero, un punto algo menor es que X = 0 , 0.01 a , 0.02 a , . . . a , 1.01 a , . . . .2 a . . . .100 a en realidad da una lista de 10001 puntos, no 10000 puntos. Asumiré que en realidad quisiste decir X = 0 , 0.01 a , . . . a , 1.01 a , . . . .2 a . . . .99 .99 a .

En segundo lugar, dices que

V ( X ) = ∑ k mi i k X V k
dónde k = 2 π norte a y norte = 0 , 1 , 2 , 3 , pero esto da un hamiltoniano no hermitiano, por lo que supondré que en realidad quisiste decir norte = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 y donde V − k = V k ∗ .

Entonces, la forma más fácil de interpretar la DFT es la siguiente. Tenga en cuenta que el k ª entrada (donde k = 1 , 2 , . . . , 10000 ) del vector V Se puede escribir como

V [ k ] = ∑ norte = − 3 3 V norte mi 2 π i 100 norte ( k − 1 ) / 10000
donde específicamente no he cancelado el factor 100 / 10000 para aclarar la forma en el dominio de la frecuencia de los coeficientes. A partir de esto, es claro que cada coeficiente V norte se puede determinar a partir de la DFT como
V norte = 1 10000 DFT ( V ) [ 100 norte + 1  modificación  10000 ]
dónde DFT ( V ) es la FFT unitaria de V .

Como ejemplo numérico en Mathematica:

V0 = 10;
V1 = 2 + I;
V2 = 3 + 2 I;
V3 = 4;
Vm1 = 2 - I;
Vm2 = 3 - 2 I;
Vm3 = 4;
V = Chop@Table[
    Exp[I 2 \[Pi] 1/a x] V1 + Exp[I 2 \[Pi] 2/a x] V2 + 
     Exp[I 2 \[Pi] 3/a x] V3 + Exp[-I 2 \[Pi] 1/a x] Vm1 + 
     Exp[-I 2 \[Pi] 2/a x] Vm2 + Exp[-I 2 \[Pi] 3/a x] Vm3 + V0, {x, 
     0, 99.99 a, 0.01 a}];
DFTV = InverseFourier[V];

Aquí está la primera celda unitaria:

ListLinePlot[V[[1 ;; 100]]]

ingrese la descripción de la imagen aquí

Aquí está el DFT:

ListLinePlot[Abs[DFTV], PlotRange -> All, Frame -> True, 
Axes -> False]

ingrese la descripción de la imagen aquí

Y aquí están los coeficientes devueltos por la DFT:

Chop@Table[1/Sqrt[10000] DFTV[[Mod[100 n + 1, 10000]]], {n, -3, 3}]

(*Out: {4., 3. - 2. I, 2. - 1. I, 10., 2. + 1. I, 3. + 2. I, 4.} *)

Puede verificar usted mismo que todos los demás coeficientes DFT son cero hasta la precisión de la máquina. Nota menor: utilicé InverseFourieren lugar de Fourierporque la definición de Mathematica de Fouriery InverseFourierse invierte en comparación con la forma en que las personas definen comúnmente las transformadas de Fourier.

oye, gracias por mencionar y asumir las correcciones que se deben hacer a la pregunta. No entiendo por qué n va de -4 a +4.
@ usuario38579: Lo siento, error tipográfico, debería ser -3 a 3 como lo formuló en su pregunta, edité mi respuesta para solucionarlo.
Me doy cuenta de que fue mi error no poner puntos delante de 3. Era una suma infinita antes de elegir una red finita. Después de elegir una red finita de 100 átomos, pasará de -50 a +49, ¿verdad? gracias por tu respuesta, la he aceptado.
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