Identidad interna compleja del producto

Producto interno complejo

En C d , v ≠ 0 y w = λ v para algunos λ ∈ C .

Dejar ⟨ v , w ⟩ = ρ mi i θ con ρ > 0 . Si v ~ = mi − i θ v , entonces ⟨ v ~ , v ~ ⟩ = ⟨ v , v ⟩ .

lo intenté

⟨ v ~ , v ~ ⟩ = ⟨ mi − i θ v , mi − i θ v ⟩ = mi − 2 i θ ρ mi i θ = ρ mi − i θ .

¿Es correcta la segunda igualdad? ¿Cómo podemos probar la identidad? ⟨ v ~ , v ~ ⟩ = ⟨ v , v ⟩ ? ¿Es cierto que para cualquier v y w en C d , ⟨ v , w ⟩ = ρ mi i θ ? ¿Qué decide el valor de θ ?

Qué es w ?
@ user251257 Lo edité. w = λ v .
Mira cómo se define el producto interior. Es una función si lo desea, que toma dos vectores y da un escalar (complejo en su caso, parece). ¿Puedes expresar cualquier número complejo en la forma que das? puedes escribir/dividir Exp ⁡ i θ (puede no ser necesario) de alguna manera y/o usar propiedades/axiomas de un producto interno? (por ejemplo, cómo 'sacar' un escalar, desde dentro del soporte del producto interno)

Respuestas (1)

⟨ v ~ , v ~ ⟩ = ⟨ mi − i θ v , mi − i θ v ⟩ = mi − i θ mi − i θ ¯ ⟨ v , v ⟩ = mi − i θ mi i θ ⟨ v , v ⟩ = ⟨ v , v ⟩ .

Identidad interna compleja del producto
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