Identidad de Fierz con espinores de Weyl

Siga estas pautas:

1) Usa las notaciones$\sigma^\mu= (1, \vec \sigma)$,$\tilde \sigma^\mu= (1, -\vec \sigma)$. Obtendrá expresiones con índices más bajos.$\mu$, utilizando las métricas de Minkowski$\eta_{\mu\nu} = (1, -1, -1, -1)$.

2) Utilizar la base quiral/Weyl, y expresar, para las expresiones LHS y RHS de la igualdad, las matrices entre los espinores, en función de$\sigma^\mu, \tilde \sigma^\mu$

3) Dividir los 4 espinores$\psi_i$, en 2 2-espinores$(\phi_i,\chi_i)$, y expresa las expresiones LHS/RHS, como producto de un producto cuártico de componentes de los 2-spinores multiplicado por algunos coeficientes$L_{ijkl}, R_{ijkl}$

4) Finalmente, tendrás que demostrar alguna relación entre$\sigma^\mu_{(ij)} \tilde \sigma_{\mu (kl)}$, y$\delta_{il} \delta_{kj}$. Para hacer esto, demuestre que, por cada hermético$2 *2$matriz$X$, tienes :

$X = \frac{1}{2} Tr(X \tilde \sigma_\mu) \sigma^\mu$

Exprese esta relación matricial, para cada elemento de las matrices, con la forma:$X_{ij} A^{jikl}=0$, y deducir que$A^{jikl}=0$

Hay una forma sencilla de obtener esto esencialmente mediante la inspección , leyendo la fila V×V de la tabla general de Fierz (el ejemplo resuelto con un signo menos general para los fermiones anticonmutadores en cuestión, aquí):

$$\begin{equation} \bar{\psi}_1 \gamma^\mu \psi_2 \bar{\psi}_3 \gamma_\mu \psi_4 = - \bar{\psi}_1 \psi_4 \bar{\psi}_3 \psi_2+ \bar{\psi}_1 \gamma_5 \psi_4 \bar{\psi}_3 \gamma_5 \psi_2 \\ + \frac{1}{2} \bar{\psi}_1 \gamma^\mu \psi_4 \bar{\psi}_3 \gamma_\mu \psi_2 + \frac{1}{2} \bar{\psi}_1 \gamma_5 \gamma^\mu \psi_4 \bar{\psi}_3 \gamma_5 \gamma_\mu \psi_2 . \end{equation}$$

Esto es válido para espinores arbitrarios, así que ahora simplemente elige $\psi_2$ser diestro, lo que hace cumplir$\psi_1$ser diestro, también, como ya mostraste en tu inicio, e igualmente$\psi_4$ser zurdo, lo que dicta$\psi_3$ser zurdo, también, análogamente,

$$\psi_2 \to \psi_2 = \frac{1}{2}(1+\gamma_5)\psi_2, \qquad \Longrightarrow (1-\gamma_5)\psi_2=0 ,$$ etc, mutatis mutandis.

Entonces, ahora, simplemente tenga en cuenta, ¡oh, qué alegría!, que tanto los términos V × V como A × A de la segunda línea de la identidad de Fierz simplemente desaparecen por proyección quiral, ya que los acoplamientos axiales y vectoriales no pueden conectar los espinores zurdos con los derechos. manos, y viceversa.

Además, el término pseudoescalar de la línea superior se convierte en su hermano escalar con signo menos, ya que$\gamma_5 \to -1$para el proyector izquierdo, ¡pero no para el derecho!

Hemos terminado. La identidad de Fierz anterior simplemente colapsa para

$$\begin{equation} \bar{\psi}_1 \gamma^\mu \psi_{2~R} ~~\bar{\psi}_{3} \gamma_\mu \psi_{4~L} = -2 \bar{\psi}_1 \psi_{4~L} ~~\bar{\psi}_3 \psi_{2~R}, \end{equation}$$ que es solo su identidad desideratum dividida por 4. Con algo de práctica, esto es evidente al inspeccionar tales expresiones quirales.