¿Hay una mejor alternativa que asumir a=0a=0a=0 y luego calcular la aceleración? (Pregunta de examen: energía radiada después de la dispersión de Coulomb)

En principio, podría simplemente integrar las ecuaciones acopladas de Newton-Lorentz-Maxwell, pero esto es difícil . :) Si la reacción de radiación no es importante, entonces este es solo el problema normal de dos cuerpos con la fuerza de Coulomb en lugar de la fuerza gravitacional. En la práctica, usaría una teoría de perturbaciones basada en el problema de los dos cuerpos con la fuerza de reacción de la radiación como una pequeña perturbación.

Podrías desarrollar una teoría de perturbaciones sistemáticas si quieres. La idea clave está bien descrita en Wikipedia:

La teoría de la perturbación comprende métodos matemáticos que se utilizan para encontrar una solución aproximada a un problema que no se puede resolver exactamente, a partir de la solución exacta de un problema relacionado. La teoría de la perturbación es aplicable si el problema en cuestión se puede formular agregando un término "pequeño" a la descripción matemática del problema exactamente solucionable.

Aquí el problema relacionado con una solución exacta es el movimiento de una partícula libre y el parámetro pequeño es la pequeña aceleración experimentada por la partícula. Lo que harías es expandir cada cantidad en una serie de correcciones cada vez más pequeñas. Podemos usar un parámetro$\lambda$para contar el orden de pequeñez (al final del día estableceremos$\lambda=1$):

$$\begin{array}{rl} r &= r_0 + \lambda r_1 + \lambda^2 r_2 + \cdots \\ v &= v_0 + \lambda v_1 + \lambda^2 v_2 + \cdots \\ a &= \lambda a_1 + \lambda^2 a_2 + \cdots \\ \end{array}$$

La clave a tener en cuenta es que la aceleración comienza con un orden de pequeñez. Los sustituirá en las ecuaciones exactas de movimiento, expandirá todo y hará coincidir los términos del mismo orden. Lo que obtendrá es una serie de ecuaciones: la primera que describe el movimiento de una partícula libre, la segunda que describe la corrección de primer orden debida a la aceleración, la tercera que describe la corrección de siguiente orden debido al hecho de que la corrección trayectoria cambia ligeramente la aceleración (ya que$r_1$alimenta en$a_2$), y así sucesivamente... Presumiblemente ya ha resuelto las dos primeras ecuaciones de esta jerarquía.

Este ejemplo en particular es un poco desordenado. En caso de que no haya visto nada de esto antes, ilustraré la mecánica básica con un ejemplo simple donde conocemos la solución exacta. Considere la ecuación cuadrática

$$x^2 - 2\epsilon x - 1 =0,$$

dónde$\epsilon$es un pequeño número real que representa la perturbación. Sabemos que las soluciones exactas son

$$x = \epsilon \pm \sqrt{1+\epsilon^2}.$$

Pero supongamos que no lo sabíamos. Todavía podríamos progresar escribiendo

$$x = x_0 + \epsilon x_1 + \epsilon^2 x_2 + \cdots.$$

Sustituyendo eso en la ecuación cuadrática y reuniendo términos por potencias de$\epsilon$da

$$(x_0^2-1) + \epsilon (2 x_0 x_1 - 2 x_0) + \epsilon^2 (2 x_0 x_2 + x_1^2 - 2 x_1) + \cdots = 0,$$

donde solo mantenemos los términos hasta$\epsilon^2$porque solo ampliamos$x$así de lejos. Ahora cada orden en$\epsilon$tiene que desaparecer por separado. (¿Por qué? Porque si tuviera una cancelación entre términos de orden diferente, eso significaría que sus coeficientes son de tamaños muy diferentes, lo que significa que su perturbación realmente no tiene un efecto pequeño en la solución, es decir, la teoría de la perturbación está fundamentalmente rota. Este es el caso para un sistema estructuralmente inestable : una pequeña perturbación cambia el comportamiento por completo. Podría intentar identificar otro parámetro pequeño donde la escala se comporte mejor.) Así que esto le da una serie de ecuaciones:

$$\begin{array}{rl} x_0^2 - 1 &= 0, \\ 2 x_0 x_1 - 2 x_0 &= 0, \\ 2 x_0 x_2 + x_1^2 - 2 x_1 &= 0, \\ \vdots \end{array}$$

La primera ecuación es el problema no perturbado con las soluciones exactas$x_0 = \pm 1$. Tenga en cuenta que el resto de las ecuaciones determinan el siguiente orden de la solución en términos de las cantidades de orden inferior. Ahora hay dos opciones de$x_0$para basar la serie de perturbaciones. En este caso ambos dan soluciones válidas. Voy a recoger$x_0 = +1$por ahora y dejarte desarrollar la otra solución. Ahora usamos esto$x_0$en la ecuación para$x_1$:

$$2 x_1 - 2 = 0 \implies x_1 = 1.$$

ahora usamos$x_0,x_1$en la ecuación para$x_2$:

$$2 x_2 + 1 - 2 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{2}.$$

Entonces nuestra solución es

$$x = x_0 + \epsilon x_1 + \epsilon^2 x_2 + \cdots = 1 + \epsilon + \frac{1}{2}\epsilon^2 + \cdots.$$

Si compara esto con la expansión de la serie de Taylor de la solución exacta$x=\epsilon+\sqrt{1+\epsilon^2}$Verás que son exactamente iguales. :)

En este problema simple, la teoría de la perturbación es definitivamente exagerada, pero en una situación física complicada a menudo es esencial y, por lo general, el par más bajo de órdenes es suficiente precisión en la práctica si la teoría de la perturbación va a ser útil. Hay muchas formas en que la teoría de la perturbación puede salir mal, o al menos volverse muy complicada, pero de todos modos es una herramienta poderosa para tener en el cinturón.