Derivación clásica de dispersión de Rutherford (parcial)

Ciertamente tarde para su problema de tarea, pero la figura a continuación muestra el esquema de la dispersión elástica. El ángulo de dispersión es$\Theta$. El vector de transferencia de cantidad de movimiento es$\Delta \bf{p}$.

Dado que su pregunta comienza con potencial, primero obtendremos la fuerza central:

$$\begin{align} F(r) &= \frac{dV}{dr} \\ &= -\frac{\alpha}{r^2} \end{align}$$

Dado que la fuerza es central, en cualquier momento la fuerza en la dirección de$\Delta \bf{p}$es$F \cos\phi$, por lo que la transferencia de cantidad de movimiento total es

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} F \cos{\phi}\,dt \end{align}$$

Usando una de sus informaciones$bv_0=r^2\frac{d\phi}{dt}$(que se puede obtener de la conservación del momento angular) hacemos el cambio de variable

$$\begin{align} dt = \frac{r^2}{bv_0}d\phi \end{align}$$

. en el limite$t\rightarrow \pm \infty$, el ángulo$\phi$enfoques$\pm(\pi-\Theta)/2$medida desde la dirección del eje de transferencia de cantidad de movimiento. La integración se convierte,

$$\begin{align} \int_{-\frac{\pi-\Theta}{2}}^{\frac{\pi-\Theta}{2}} \left(-\frac{\alpha}{r^2}\right)\cos{\phi}\,\frac{r^2}{bv_0}d\phi &= \frac{\alpha}{bv_0}\left[\sin\phi\right]^{\frac{\pi-\Theta}{2}}_{-\frac{\pi-\Theta}{2}} \\ &= \frac{2\alpha}{bv_0}\cos{\left(\frac{\Theta}{2}\right)} \end{align}$$

Ciertamente tarde para su conjunto de problemas de tarea, pero para futuros lectores:

Creo que es mejor ir a la fuente, Ernest Rutherford, "The Scattering of$\alpha$y$\beta$Particles by Matter and the Structure of the Atom", London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, volumen 21, número 125, páginas 669-688 (1911). Este es el artículo en el que detalla lo que ahora se conoce como Dispersión de Rutherford, con la derivación completa de la sección eficaz que se espera de un átomo con núcleo.