¿Hay simetría de inversión de tiempo para los potenciales delta?

Question

¿Hay simetría de inversión de tiempo para los potenciales delta?

Física
teoría de la matriz s
mecánica cuántica
ecuación de Schroedinger
tiempo-inversión-simetría
distribuciones-dirac-delta

Bcpicao

estaba mirando el problema $4.6$ de la Física Cuántica de Gasiorowicz, donde pide probar que la matriz de dispersión de un potencial de la forma

V (X) = \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{λ}{a} d (X - b)

$V(x)=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\lambda}{a}\delta(x-b)$

es un cierto unitario ( $S^\dagger S=I$ ) pero no matriz simétrica . Pensé, como se menciona en la página de Wikipedia en el $S$ -matriz, que para cualquier potencial real $V(x)$ , hay simetría de inversión de tiempo, lo que significa que la $S$ -la matriz es simétrica . ¿Dónde está mi error?

Además, ¿podemos decir que en el caso en que $V(x)$ incluso entonces está haciendo $x\to -x$ implica

ψ_{i norte} = S ψ_{o tu t} ⟹ S^{2} = I d

$\psi_{in}=S\psi_{out}\implies S^2=Id$

EDITAR : Para referencia:

roger vadim

Tenga en cuenta que el potencial no es simétrico:

V (- x) \propto δ (x + b)

$V(-x) \propto \delta(x+b)$ .

Bcpicao

De hecho, la última pregunta es más general y no pertenece al potencial antes mencionado, sino que se trata de matrices S en general.

Respuestas (1)

¿Hay simetría de inversión de tiempo para los potenciales delta?

Tenga en cuenta que el potencial no es simétrico: $V(-x) \propto \delta(x+b)$ .
De hecho, la última pregunta es más general y no pertenece al potencial antes mencionado, sino que se trata de matrices S en general.

Sal · Answer 1

Trágicamente, el autor del libro al que hace referencia usa una convención diferente para el $S$ -matriz:

\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} C \\ B \end{matrix}) = S_{GRAMO} (\begin{matrix} A \\ D \end{matrix}) \end{matrix}

$\tag{1} \left(\matrix{C \\B}\right)=S_G\left(\matrix{A \\D}\right)$

En lugar de

\begin{matrix} (2) & (\begin{matrix} B \\ C \end{matrix}) = S_{R W} (\begin{matrix} A \\ D \end{matrix}) \end{matrix}

$\tag{2} \left(\matrix{B \\C}\right)=S_{RW}\left(\matrix{A \\D}\right)$

Donde el subíndice indica "resto del mundo". Las cartas $A,B\dots$ y la notación aquí sigue la página wiki. Al conjugar $\psi_L$ y $\psi_R$ encontramos

\begin{matrix} (3) & (\begin{matrix} D^{*} \\ A^{*} \end{matrix}) = S_{GRAMO} (\begin{matrix} B^{*} \\ C^{*} \end{matrix}) \end{matrix}

$\tag{3} \left(\matrix{D^* \\A^*}\right)=S_G\left(\matrix{B^* \\C^*}\right)$

Como puede ver, esto ya no tiene la misma forma que (1), los componentes de los estados de entrada y salida se han invertido. No podemos continuar con el siguiente paso de la prueba en la página wiki porque no podemos sustituir el conjugado de (3) en (1). en cambio tenemos

\begin{matrix} (4) & (\begin{matrix} D \\ A \end{matrix}) = S_{GRAMO}^{*} (\begin{matrix} B \\ C \end{matrix}) \end{matrix}

$\tag{4} \left(\matrix{D \\A}\right)=S_G^*\left(\matrix{B \\C}\right)$

Al introducir la matriz $X=\left(\matrix{0 \ 1 \\1 \ 0}\right)$ podemos escribir esto como

\begin{matrix} (5) & X (\begin{matrix} A \\ D \end{matrix}) = S_{GRAMO}^{*} X (\begin{matrix} C \\ B \end{matrix}) \end{matrix}

$\tag{5} X \left(\matrix{A \\D}\right)=S_G^* \ X \left(\matrix{C \\B}\right)$

En el que se puede sustituir (1) para producir

\begin{matrix} (6) & (X S_{GRAMO})^{- 1} = (X S_{GRAMO})^{*} \end{matrix}

$\tag{6} (XS_G)^{-1}=(XS_G)^*$

donde he usado $X^2=\mathbb{I}$ . En esta convención, el $S$ -la matriz generalmente no satisface $S^{-1}=S^*$ para potenciales reales; en cambio, (6) es la declaración análoga sobre $S_G$ .

La expresión en la pregunta es correcta usando la definición del autor.

Si el potencial es simétrico, puede usar el mismo método anterior (aplicando paridad en lugar de conjugación compleja y relacionando los coeficientes $A,B,...$ ) para mostrar que

\begin{matrix} (7) & S_{R W} = X S_{R W} X ⟹ S_{R W}^{- 1} S_{R W} = I \end{matrix}

$\tag{7} S_{RW}=XS_{RW}X \implies S^{-1}_{RW}S_{RW}=\mathbb{I}$

Además, si el potencial es par, los estados propios de energía pueden elegirse para que sean estados propios de paridad. Puede leer más sobre eso en, por ejemplo. las notas de Tong o en el capítulo 16 de la mecánica cuántica: un desarrollo moderno de Ballentine

¡Bien descrito! De hecho, no me había dado cuenta de la diferencia en la definición. ¿Alguna pista con respecto a mi pregunta de seguimiento?

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Bcpicao

roger vadim

Bcpicao

Respuestas (1)

Sal

Bcpicao

Sal

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