¿Hay alguna manera de probar si las constantes físicas adimensionales son racionales?

Esta pregunta está relacionada con una pregunta hecha hace 3 años en SE (yo no era el OP), pero no es exactamente lo mismo. Me gustaría saber si hay una manera de probar si una constante física adimensional es racional o irracional. Sospecho que la respuesta es "no"; y que solo es posible determinar que si tal constante es racional su menor denominador posible debe ser mayor que un valor obtenido por experimento.

Editar: creo que estamos bastante convencidos de que, por ejemplo, la cantidad de electrones dividida por la cantidad de protones en cualquier sistema es, de hecho, un número racional. Estamos firmemente convencidos de que la carga viene en un número entero de paquetes, cada uno con exactamente la misma cantidad de carga. Algunos físicos muy respetados han propuesto que las cantidades físicas como el volumen, la distancia y el tiempo vienen en unidades discretas análogas a la longitud de Planck, lo que (creo) obligaría a muchos valores adimensionales que dependen solo de tales cantidades a ser racionales.

Esta no es una pregunta matemática; es una pregunta sobre lo que es posible probar mediante la experimentación. Podemos contar el número de dientes de un engranaje; podemos contar el número de electrones en un átomo; y en cada caso sabremos que la respuesta será un número entero.

Sospecho que sería una tontería escribir ecuaciones que describan la estructura atómica usando formas que permitan números no enteros de electrones, o proporciones irracionales de carga a e , pero también sospecho que la razón principal por la que sería una tontería no es que hayamos demostrado con absoluta certeza de que tales valores no pueden existir, sino que la suposición de que los números de electrones son siempre números enteros y la carga es siempre un múltiplo entero de e nunca (todavía) ha llevado a contradicciones con los resultados experimentales.

Supongo que eso depende de lo que entiendas por "observado". " pi " existe y es irracional, pero si tratamos de medir " pi " contando, solo podemos obtener un valor racional.
@safesphere, conocemos el valor de * π*. Simplemente no podemos escribirlo en nuestra notación decimal inherentemente racional, porque es irracional.
Depende de lo que signifique "definido". "La relación entre la circunferencia y el diámetro" no se refiere al infinito, pero todas las formas que la gente ha desarrollado para cuantificar esa relación, o incluso escribirla en notación racional , requieren un número infinito de pasos. No hay duda de que es posible encontrar matemáticos, filósofos o incluso físicos que estén dispuestos a argumentar que los números irracionales no existen. Creo que hay un número abrumadoramente mayor de personas que creen que "pi", "e" y la diagonal de un rectángulo arbitrario con lados enteros realmente existen.
Y tenga en cuenta que si nosotros (por alguna extraña razón) usáramos π como la base de nuestro sistema numérico, seguramente habría algunos que insistirían en que los números racionales, que solo podrían representarse como una serie infinita, no existen.
¿El entero $10^100 no existe porque no se puede observar ni medir? Sin duda, se puede definir de manera significativa, lo que creo que significa que se puede cuantificar de manera significativa, a menos que "cuantificado" signifique "expresado como un número decimal de base 10 con un número finito de dígitos".

Respuestas (1)

Esta es una pregunta sin sentido. Las constantes físicas adimensionales, como la constante de estructura fina o la relación de masa muón-electrón, solo se pueden medir con cierta precisión limitada. Para saber si un número es racional o irracional hay que saberlo con una precisión infinita.

Por ejemplo, los primeros cien dígitos pueden repetirse cada cinco dígitos, haciéndote pensar que es racional, pero luego el dígito 101 rompe el patrón. ¿Significa esto que no es racional? No, podría repetirse cada 101 dígitos o cada 237.765 dígitos. O puede que nunca se repita y sea irracional.

Por supuesto, algún día podríamos tener una teoría aceptada que prediga un valor racional o irracional para cada constante conocida. Pero nunca diremos por experimentación cuáles son.

Hay un patrón que comienza a aparecer en las preguntas de los carteles que deben conocer. En efecto, la física NO es matemática. Los modelos matemáticos se utilizan para representar fenómenos físicos particulares de modo que los modelos se aproximen a la realidad en mayor o menor grado. Sin embargo, conceptos como la racionalidad de las constantes físicas nunca surgen en física precisamente porque la física no es matemática. Tal pregunta no tiene más sentido que darle la vuelta y preguntar si el álgebra (o el cálculo) conserva el impulso o la energía.
Basándonos también en nuestras teorías actuales, sabemos si algunas de las constantes deberían ser racionales o irracionales, ¿verdad? Por supuesto, nunca podemos verificar la racionalidad o la irracionalidad en una prueba experimental directa.
Creo que la pregunta puede ser similar a preguntar si los niveles de energía de los electrones en un átomo aislado tienen rangos infinitesimalmente delgados, o si tienen algún grado de incertidumbre "absoluta". Los experimentos que puedo imaginar para medir ese rango tomarían una cantidad infinita de tiempo. Por analogía, llevaría una eternidad sumar todas las potencias enteras positivas de 1/2 una a la vez, pero no tenemos ningún problema en decir de inmediato que la suma es exactamente igual a 1. Me pregunto si podría haber métodos experimentales análogos que, sin un número infinito de medidas, dice "racional" vs "irracional"
@gsmith, explique por qué "nunca diremos por experimento cuáles son [racionales o irracionales]". Sospecho que tiene razón; pero no he visto una prueba de esa afirmación, excepto en base a la suposición de que todas las medidas son inherentemente estadísticas: que ninguna medida puede proporcionar una certeza absoluta de que una afirmación dada en física es verdadera o no.
@ S.McGrew Los primeros dos párrafos de mi respuesta explican por qué. Para saber si un número es racional o irracional hay que saberlo con una precisión infinita. Ningún experimento puede producir una medida infinitamente precisa.
Esa explicación no parece del todo satisfactoria. Podemos probar que un número es irracional, sin tener que escribirlo o saberlo con precisión infinita. Por ejemplo, mathonline.wikidot.com/… .
@S.McGrew Sí, por supuesto. Eso es irrelevante. Una prueba matemática no tiene nada que ver con una medida experimental. ¿Por qué no me explica cómo un experimentador podría determinar si la constante de estructura fina es racional o irracional?
¡Si pudiera hacer eso, no necesitaría hacer la pregunta! Sin embargo, vale la pena mencionar que hay "pruebas probabilísticas" en.wikipedia.org/wiki/Probabilistic_method en matemáticas que podrían ser muy similares a algunos tipos de experimentos físicos. Tal vez una técnica como la imagen fantasma cuántica en.wikipedia.org/wiki/Ghost_imaging podría usarse de una manera análoga a la forma en que se usa el muestreo en los ejemplos ofrecidos en el artículo "pruebas probabilísticas", para probar o refutar la racionalidad de un físico. constante adimensional.
Como se indica en el artículo "pruebas probabilísticas", existe un debate sobre si algunas de estas pruebas son matemáticamente válidas o no.
¿Hay alguna manera de probar si las constantes físicas adimensionales son racionales?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v