¿Hay alguna forma de evitar que la incompletud de Gödel afecte a las matemáticas en su conjunto?

Es una idea natural, pero lamentablemente la respuesta es no, no es factible. La raíz de la incompletud no son los números, sino la posibilidad de autorreferencia (implícita), la aritmética es solo la estructura más simple que ya se da cuenta de esa posibilidad. De hecho, ni siquiera se necesita la aritmética de Peano, sino una aritmética de Robinson mucho más débil.sin siquiera inducción para que la prueba pase. Al final, lo que importa no es si la teoría tiene números, conjuntos u otra cosa, o cómo las piezas están conectadas o aisladas entre sí, sino solo el poder expresivo de la teoría. Siempre que pueda imitar el poder expresivo mínimo de la aritmética, la incompletud se establece, ya sea que conectemos números con otros objetos, o incluso que tengamos números, no hace ninguna diferencia. La incompletud no se propaga de los números, es inherente a cualquier cosa que pueda simular números. Si los otros objetos no pueden permanecer "sanos",

Uno puede recorrer un camino sorprendentemente largo con eso, en realidad, esto se llama matemáticas predicativas . Como mostraron nominalistas como Field, si bien es más débil que las matemáticas clásicas, es suficiente para todos los propósitos de la física clásica al menos. En las matemáticas predicativas, la incompletud se reduce esencialmente a la de la aritmética solamente. Wittgenstein estaba dispuesto a ir aún más lejos y reducir las matemáticas a una aritmética recursiva primitiva, que es finitista, véase ¿Se estaba anticipando Wittgenstein a Gödel?Pero si realmente queremos vencer la incompletud sin trivializar las matemáticas, las manipulaciones estructurales no ayudarán, tenemos que renunciar a una de las otras premisas de Gödel: o que las matemáticas son recursivamente axiomatizables (los axiomas son reconocibles como tales), o que son consistentes ( o ambos). Una vez más, Wittgenstein estaba dispuesto a renunciar a la coherencia y confinar las contradicciones utilizando lo que más tarde se convirtió en una lógica no clásica ("dialetéica"). El desarrollo de estas ideas condujo a las matemáticas inconsistentes modernas, que producen una aritmética completamente inconsistente que puede probar la no trivialidad de sus partes consistentes, consulte ¿El argumento de Gödel de que las mentes son más poderosas que las computadoras tiene la laguna de la inconsistencia? y¿En qué texto/documento se introdujo por primera vez el concepto de dialeteísmo como una posición seria?

Sin embargo, es poco probable que el predicativismo, el finitismo o el dialeteísmo se conviertan en posiciones dominantes entre los matemáticos. Son vistos como demasiado restrictivos y/o artificiales para apoyar la práctica matemática existente, que realmente no necesita ni completitud ni fundamentos.

Para complementar la respuesta de Conifold, aquí hay otra forma de verlo: las declaraciones sobre la teoría de números siempre terminan siendo declaraciones también en teoría de números. Tome cualquier teorema teórico numérico y reemplace los símbolos con números usando una codificación adecuada, y terminará con una ecuación.

Debido a esto, cualquier sistema lo suficientemente rico como para abarcar la aritmética de los números naturales no puede evitar la autorreferencia. Y como señala Conifold, la autorreferencia hace inevitable la paradoja en el corazón del teorema de Gödel.

El teorema de incompletitud de Gödel está probado para cualquier sistema autorreferencial que sea omega-consistente. Sin embargo, ha habido algunas soluciones inteligentes. El trabajo de Dan Willard, en particular, exploró una solución inteligente si uno no asume que la multiplicación es una función total (es decir, existen números que no se pueden multiplicar entre sí). Pudo desarrollar tales sistemas en los que pudo probar todas las verdades de la aritmética, pero el sistema era demasiado débil para admitir el lema de diagonalización esencial para la prueba de Gödel. Dichos sistemas podrían probar su propia consistencia, pero no pudieron probar el lema necesario para que funcione la prueba de Gödel.

Sí, uniéndome a la escuela logicista. La oración de Gödel no representa una amenaza para el logicismo porque una oración autorreferencial no tiene sentido para los logicistas.

El significado de la oración de Gödel G no se puede determinar hasta que se determine cada uno de los constituyentes de G; uno de los constituyentes de G es el propio G, por lo que se produce un círculo vicioso. Para los formalistas, las matemáticas son manchas de tinta que no tienen significado, por lo que la oración de Gödel presenta un argumento válido. Para los logicistas, el significado es fundamental; dado que la oración de Gödel no tiene significados, la oración de Gödel G no tiene impacto en el logicismo.

Cualquier rama de las matemáticas que tenga una aplicación práctica debe preocuparse por los significados.

Asignar un número a una magnitud se llama medida; la medición no es fundamental para las matemáticas.