En "Sobre cómo la lógica se convirtió en primer orden", Matti Eklund escribe (p. 2/148):
Parece ser ampliamente aceptado hoy en día que los argumentos de Skolem y Kurt Gödel, ambos supuestos proponentes de la tesis de que la lógica estándar de primer orden es "la lógica" (o, si se prefiere, "la lógica verdadera" o "la lógica correcta"; a continuación Diré algo acerca de lo que podría llegar a ser preferir la lógica de primer orden como "la" lógica), tuvo un impacto notable en el desarrollo hacia la lógica de primer orden.
Además, en el libro "Fundamentos sin Fundacionalismo" de Shapiro está escrito (página xiii):
Históricamente, los principales defensores de la lógica de primer orden fueron Skolem, von Neumann, Weyl y Gödel.
¿Dónde dijo Gödel que la lógica de primer orden es la lógica "verdadera"? ¿Dónde afirmó su opinión sobre este tema? ¿Hay algún documento en el que describió su opinión? Si no: Entonces, ¿de dónde sabemos que tenía esta opinión? ¿Hay fuentes (una entrevista por ejemplo)? ¿Puedes darme algunas referencias?
(También estoy interesado en las mismas preguntas con "Gödel" reemplazado por "Skolem". Pero para la mayoría, estoy interesado en Gödel)
No lo escribió en ninguna parte. La cita en sí solo llama a Gödel y Skolem "presuntos defensores", y más adelante en el artículo Eklund comenta que " la (supuesta) evidencia de que Skolem se adhirió a la lógica de primer orden es que Skolem sostuvo que la teoría de conjuntos y la aritmética deben recibir una lógica de primer orden". axiomatizaciones, mientras que... la evidencia de que Gödel se adhirió a la lógica de primer orden es el (supuesto) hecho de que Godel insistió en un metalenguaje de primer orden " (p.151), y procede a disputar incluso esta evidencia limitada. Menciona la correspondencia de Gödel-Zermelo de 1931 como la supuesta fuente, y comenta que " ni Moore ni Shapiro nos proporcionan ninguna cita de la correspondencia de Gödel-Zermelo que demuestre que Gödel insistió en un metalenguaje de primer orden ". (pág. 158).
El predominio de la lógica de primer orden se basa en los resultados técnicos de Skolem y Gödel, más que en argumentos filosóficos. Skolem demostró que la lógica de primer orden tiene una buena teoría de modelos, Gödel demostró que es recursivamente axiomatizable y, por lo tanto, tiene una buena teoría de prueba (a diferencia de las lógicas de orden superior) y compacta (a diferencia de las lógicas infinitas). Al mismo tiempo, la teoría de conjuntos de primer orden de Zermelo-Fraenkel (hecha de primer orden por Skolem, quien modificó el axioma de comprensión de Zermelo en consecuencia) demostró ser más que suficiente no solo para todas las matemáticas clásicas, sino incluso para la teoría de conjuntos superior y la teoría de modelos. Por otro lado, las teorías de conjuntos de orden superior, como la de Russell, demostraron ser difíciles de manejar. Al final, Russell tuvo que introducir el infame "axioma de reducibilidad" que efectivamente reduce la lógica de su teoría de conjuntos al primer orden.
Desde la década de 1950, Quine identificó rutinariamente la lógica de primer orden con el "lenguaje de la ciencia", el propio Eklund lo menciona como una influencia. En cuanto a la "verdadera lógica" tal como se entiende en filosofía, Gödel argumentó todo lo contrario. Que el razonamiento humano no sólo no es captado por la lógica de primer orden, sino por cualquier lógica formalizada, y que sus resultados de incompletitud son un indicio de ello.
noah schweber