Actualmente soy un estudiante de doctorado en matemáticas especializado en geometría algebraica que aspira a trabajar en los límites de los campos de las matemáticas y la física y, por lo tanto, estaba investigando el campo de la física matemática. A diferencia de muchos otros campos de las matemáticas puras o la física teórica, no parece haber un camino muy claro en términos de estudiar los fundamentos de este campo, ya que la mayoría de los libros de "física matemática" son simplemente métodos matemáticos utilizados en la física. En marcado contraste, muchos campos tienen hojas de ruta más o menos claras sobre qué libros estudiar.
Como tal, ¿realmente no entiendo los conocimientos básicos que debe tener un físico matemático? ¿Se especializan en un área particular de las matemáticas o se trata principalmente de topología y geometría o también deben conocer otras áreas aplicables, como el análisis funcional, y hasta qué punto?
Así que me preguntaba, ¿cómo exactamente debería uno comenzar a aprender los fundamentos para investigar en física matemática? En términos de un objetivo específico, ¿qué se debe aprender para comenzar a comprender cosas como los trabajos de investigación de Ed Witten? ¿Debería uno comenzar idealmente con el libro de Nakahara? ¿Y ayudaría estudiar temas como tqft y teoría de calibre? Aunque ahora es demasiado tarde, ¿debe uno postularse a un programa de posgrado en matemáticas o física si su interés está en la física matemática?
Esto se hizo demasiado largo para un comentario, pero está destinado a ser uno extenso. No soy bastante el tipo para decir que me interesa principalmente desde una perspectiva estructural/matemática. Perdóname si no te digo nada nuevo.
Definitivamente puedes hacer TQFT dentro de los límites de las matemáticas puras. Si lo que quiere es el modelo estándar, hará bien en comprender su teoría de representación, ya que los tipos de partículas corresponden a representaciones fundamentales de grupos de Lie ( en el modelo estándar, multiplicado por el grupo de Poincaré si realiza el análisis). A partir de ahí, un campo cuántico es una sección de un paquete vectorial asociado a la representación en el espacio-tiempo que satisface un principio variacional (un extremo de una acción) que involucra adecuadamente equivariante conexiones (que por cierto son sus bosones). Faria-Melo desarrolla esto y de hecho exhibe el modelo estándar en este marco.
Omiten un análisis claro de cómo las representaciones se relacionan con los tipos de partículas, pero esto lo hacen Báez y Huerta en este texto ( http://math.ucr.edu/~huerta/guts/ ). Básicamente, los elementos en sus representaciones fundamentales son estados de partículas fermiónicas, los generadores de la representación adjunta son bosones que actúan sobre sus fermiones de una manera que puede representarse mediante diagramas de Feynmann.
La cuantización todavía me resulta esponjosa, pero parece que aquí es donde entran los grupos cuánticos: no se puede deformar un álgebra de Lie semisimple y obtener una deformación razonable de su teoría de la representación (su categoría de representaciones). Sin embargo, puede deformar su álgebra envolvente universal (que es un álgebra de Hopf, es decir, un objeto con un producto y un coproducto que interactúan favorablemente). Hay una clase magistral sobre esto en este momento que habla sobre esto con el propósito de estudiar invariantes de 3 variedades usando teorías de campos tridimensionales. Se pueden encontrar notas sobre grupos cuánticos en su página web: http://www.math.ku.dk/english/research/conferences/2014/tqft/Por cierto, también tienen un curso intensivo sobre álgebras de operadores, que es parte de la teoría que le permite tratar razonablemente con representaciones de dimensiones infinitas del grupo de Poincaré.
Cómo se relaciona el punto de vista de los funtores en las teorías de campos con el "clásico" desarrollado en Faria-Melo es un poco confuso para mí, pero sospecho que puede encontrar algunas respuestas en el artículo de Segal sobre teorías de campos conformes (http: //www.math .upenn.edu/~blockj/scfts/segal.pdf -- un escaneo bastante malo pero lo encontrarás en su día de cumpleaños número 60).
Por supuesto, esto deja de lado los aspectos computacionales medulares del tipo que un físico podría contarle, y nunca me he acercado lo suficiente a lo que hacen los físicos para querer renormalizar cualquier cosa (algo que aparentemente necesita hacer debido a partículas auto-interactuantes que producen integrales divergentes). Esta es definitivamente una parte bastante importante de QFT que te perderás si no estudias también el enfoque de los físicos.
Parece que la gran idea unificadora en cualquier caso es que un sistema físico debe ser invariante bajo elección de presentación (gauge) hasta un grupo o automorfismos (transformación de calibre) y que esto es cierto para los sistemas clásicos (Lorentz o Poincaré invariancia del espacio o espacio-tiempo), así como los sistemas cuánticos (otros grupos de Lie que actúan sobre un conjunto de vectores de estados) y que toda la física se cae más o menos como propiedades de las cosas con las simetrías correctas. Esto parece ser lo que los físicos y los matemáticos están de acuerdo en ambos sentidos, por lo que no puede equivocarse al estudiar representaciones.
Aparte de Faria-Melo, aquí hay algunas notas que me gusta mirar:
Estas notas son bastante explícitas sobre el tipo de matemáticas que usan math.lsa.umich.edu/~idolga/physicsbook.pdf
Estas notas sobre los grupos de Lie y la teoría de la representación son muy buenas. staff.science.uu.nl/~ban00101/lie2012/lie2010.pdf Vienen con conferencias en video. webmovies.science.uu.nl/WISM414
Eivind Dahl
cielo123