Soy un estudiante de matemáticas con poca experiencia en física. Estoy interesado en aprender la teoría cuántica de campos desde un punto de vista matemático.
¿Hay algún buen libro u otro material de referencia que pueda ayudar a aprender sobre la teoría cuántica de campos? ¿Con qué áreas de las matemáticas debo estar familiarizado antes de leer sobre la teoría cuántica de campos?
Permítanme agregar solo un par de cosas a lo que ya se mencionó. Creo que la mejor fuente de QFT para matemáticos son los dos volúmenes de IAS. Pero dado que son bastante largos y algunas partes no son fáciles para los matemáticos (participé un poco en escribirlos y sé que en gran parte fue escrito por personas que en ese momento no entendían bien sobre lo que estaban escribiendo), así que si realmente quieres entender el tema de forma matemática, te sugiero el siguiente orden:
1) Asegúrate de entender bien la mecánica cuántica (hay muchas introducciones matemáticas a la mecánica cuántica; la que más me gusta es el libro de Faddeev y Yakubovsky http://www.amazon.com/Lectures-Mechanics-Mathematics-Students-Mathematical /dp/082184699X )
2) Comprender de qué se trata la teoría cuántica de campos (matemáticamente). La fuente que me gusta aquí son los axiomas de Wightman (como algo que podría desear en QFT, pero que casi nunca se cumple) tal como se presenta en el segundo volumen del libro de Reed y Simon sobre análisis funcional; para una discusión un poco más completa, mire las conferencias de Kazhdan en los volúmenes de IAS.
3) Comprender cómo funciona la teoría de campos conforme bidimensional. Si desea una introducción más elemental y más analítica (y más "física"), consulte las conferencias de Gawedzki en los volúmenes de IAS. Si quieres algo más algebraico, mira las notas de Gaitsgory en el mismo lugar.
4) Estudiar QFT perturbativo (diagramas de Feynmann): esto está bien cubierto en los volúmenes de IAS (para un matemático; un físico necesitaría mucha más práctica de la que se hace allí), pero en el lugar no recuerdo exactamente dónde ( pero debería ser fácil de encontrar).
5) Trate de entender cómo funcionan las teorías de campos cuánticos supersimétricos. Este tema es el más difícil para los matemáticos, pero también es la fuente de la mayoría de las aplicaciones a las matemáticas. Esto se discute en las conferencias de Witten en el segundo volumen de IAS (hay alrededor de 20 de esos, creo) y esto realmente no es fácil; por ejemplo, requiere un buen conocimiento práctico de algunos aspectos de la geometría superdiferencial (también discutido allí), el cual es un tema puramente matemático pero hay muy pocos matemáticos que lo conocen.
No hay muchos matemáticos que hayan pasado por todo esto, pero si realmente quieres poder hablar con los físicos, creo que es necesario algo como el esquema anterior (por cierto: no incluí la teoría de cuerdas en mi lista - este es un tema adicional; hay una buena introducción en las conferencias de D'Hoker en los volúmenes de IAS).
Editar: además, si desea una introducción puramente matemática a la teoría del campo topológico, puede leer las notas de Segal http://web.archive.org/web/20000901075112/http://www.cgtp.duke.edu/ITP99 /segal/ ; ¡Esta es una lectura muy accesible (y agradable)! Un enfoque matemático moderno (y técnicamente mucho más difícil) del mismo tema es desarrollado por Jacob Lurie http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf (no hay motivación física en ese artículo, pero matemáticamente, esta es probablemente la forma correcta de pensar sobre las teorías topológicas de campos).
Si es matemático y quiere comprender QFT, tarde o temprano tendrá que lidiar con la renormalización. Su vida será más fácil si entiende desde el principio que la filosofía de la 'teoría del campo efectivo' de Wilson-Weinberg-etc es el principio organizador esencial para todo el tema. En particular, necesitará saberlo para tener alguna esperanza de comprender la intuición detrás de las construcciones rigurosas existentes de QFT. Desafortunadamente, las explicaciones de la renormalización en los libros de texto orientados a la física de partículas que los matemáticos suelen consultar primero no son tan buenas.
Tal vez pueda proporcionar un poco de motivación, antes de agregar a la lista de lecturas recomendadas.
En un sistema con infinitos grados de libertad (como la teoría de campo en un espacio-tiempo de al menos 2 dimensiones), debe organizar los grados de libertad de alguna manera, antes de que pueda comenzar a hablar sobre cómo interactúan. En QFT, con frecuencia organizamos los grados de libertad preguntando qué tan grandes son, en comparación con alguna escala de distancia fija. (La descomposición de Fourier del campo electromagnético es un ejemplo de esto. Pensamos en el campo electromagnético como una suma de ondas seno/coseno de varias longitudes de onda). Entonces, cuando hablamos de una teoría de campo, lo que realmente tenemos en mente es un secuencia de aproximaciones, que comienza con un conjunto de grados de libertad cuya escala característica es comparable a la escala de referencia y luego agrega sistemáticamente otros nuevos cuyas escalas características están más alejadas de nuestra escala de referencia.
La idea básica de la filosofía de la teoría del campo efectivo es que, en lugar de pensar en los grados de libertad que usamos cerca de la escala de referencia como los que quedan cuando desechamos todos los demás, deberíamos pensar en estos grados de libertad como una descripción "efectiva" aproximada del sistema que obtenemos al promediaresos otros grados de libertad. Si adopta este punto de vista, con frecuencia encontrará que los grados de libertad en la escala de referencia se parecen a los que habríamos obtenido al ignorar ciegamente los grados de libertad de distancias más cortas, y sus interacciones tienen la misma forma básica, excepto que las constantes de acoplamiento son todas diferentes. El procedimiento de renormalización que aparece en todo QFT se ocupa de calcular cómo se determinan las interacciones entre los grados de libertad en la escala de referencia en términos de las interacciones entre los grados de libertad apropiados para distancias más cortas, en particular para averiguar qué interacciones se vuelven más fuertes. y cual mas debil.
Esta filosofía tiene su origen en la mecánica estadística, la tercera pata del taburete QFT, a menudo descuidada. (La integral de trayectoria de QFT está estrechamente relacionada con los cálculos de la función de partición que aparecen en la mecánica estadística de los sistemas de campo). Si desea comprender QFT, debe estudiar QM, relatividad y stat mech. El stat mech no es realmente opcional.
Algunas referencias:
"Cutoffs & Continuum Limits: A Wilsonian Approach to Field Theory" de Tim Hollowood es una excelente introducción.
Statistical Mechanics de Kerson Huang tiene un buen tratamiento del modelo de Ising, que es más o menos el ur-ejemplo del tema.
QFT & Critical Phenomena de Zinn-Justin trabaja a través de estas ideas con una gran cantidad de detalles.
David Brydges "Lectures on the Renormalization Group" en el volumen Statistical Mechanics de IAS/Park City es bastante bueno.
Battle's "Wavelets & Renormalization" hace un tratamiento minucioso y matemáticamente riguroso de la integral de la ruta euclidiana para la teoría del campo escalar 3D, muy en el espíritu de la filosofía de la renormalización.
"Quantum Physics: A Functional Integral Point of View" de Glimm & Jaffe explica gran parte de la maquinaria matemática, como espacios nucleares y medidas de cilindros, que se pueden usar para hacer que la idea de la teoría del campo efectivo sea matemáticamente precisa, y usa esta maquinaria para construir un campo escalar 2D. teorías y probar algunos hechos no triviales sobre ellas.
Hay dos aspectos en esta pregunta:
1) ¿Qué fuentes intentan comunicar la habitual historia vaga y especulativa de la física de una manera que sea más probable que los matemáticos la aprecien?
2) ¿Qué fuentes intentan dar un tratamiento matemático real de QFT, algo que esté a la altura de las matemáticas?
Para el primero, Quantum Fields and Strings de Deligne et al es probablemente la mejor respuesta existente hasta la fecha.
Pero también hay mucho que decir sobre la segunda pregunta. Aquí se ha avanzado mucho en los últimos años. Este diciembre (2011) aparece un volumen de AMS que recopila encuestas y artículos originales sobre este tema:
Sati, Schreiber (eds.) Fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas perturbativas AMS (2011) Actas de simposios en matemáticas puras, volumen: 83 .
La introducción con más enlaces está en arXiv:1109.0955
[Editar: en vista de la discusión a continuación, debo decir que no me refiero a "vago y especulativo" de manera peyorativa. Es sólo un hecho que, desde el punto de vista de las matemáticas, gran parte de la física, ciertamente gran parte de la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas, por bien establecidas y sólidas que sean, es vaga y especulativa. Para tener una idea de la verdad de esto, puede ser útil acudir a un matemático puro que esté interesado en aprender sobre el tema pero que no tenga experiencia en él y tratar de enseñarle. Uno aprende de esto que muchos textos escritos por físicos que afirman ser "para matemáticos" en realidad no lo son. Hay una gran distancia entre un físico teórico consciente de las matemáticas y un matemático puro sin antecedentes en la tradición física habitual. Muchos físicos no son conscientes de esta distancia.]
Moshé ya ha abordado muchos puntos. Quizás te interese Teoría cuántica de campos de Folland: una guía turística para matemáticos . Intenta hacer tantas cosas como sea posible de una manera matemáticamente rigurosa y señala aquellos puntos en los que esto no se puede hacer.
En cuanto a la base matemática: será conveniente cierta familiaridad con las ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de las distribuciones.
Esto se refiere a la teoría cuántica de campos "convencional". También podría estar interesado en la teoría de campos cuánticos topológicos, que es mucho más de naturaleza matemática.
QFT es un tema enorme, que subyace en gran parte de la física teórica moderna. Creo que, en general, la comunidad matemática se ha interesado en casos simples especiales (por ejemplo, QFT topológico o racional), por lo que la advertencia estándar sobre el elefante proverbial es muy relevante aquí.
Una buena encuesta es el curso de un año que se da en la IAS para matemáticos, que cubre mucho terreno. Hay un libro de dos volúmenes que es útil no solo para matemáticos, y un sitio web: http://www.math.ias.edu/qft . Esto le dará una visión general de los temas centrales y (dependiendo específicamente de lo que le interese), los antecedentes necesarios.
En cuanto a los intentos de formalizar QFT general, hay muchos. Dado que en el tratamiento moderno (post-Wlison) del tema, las propiedades definitorias de QFT tienen que ver con el proceso de renormalización, he hecho una pregunta en ese sentido aquí Formalización de la teoría cuántica de campos , las respuestas pueden darle una idea de lo que hay en ese frente.
Además de estas excelentes respuestas, me gustaría recomendar los libros,
El primer libro desarrolla algunos de los análisis necesarios para las CFT (Capítulo 8), así como la teoría de las compactaciones conformes (Capítulos 1, 2) y la teoría de las Álgebras de Witt y Virosoro (Capítulos 4-6). El libro termina con una discusión sobre las reglas de fusión y cómo construir formalmente una CFT (a partir de algo análogo a los axiomas de Wightman). Creo que Schottenloher es un analista, por lo que puede obtener una sensación más analítica [léase: saber algo de análisis funcional y teoría básica de la representación] de este libro.
El segundo libro está escrito desde la perspectiva de alguien que es un analista funcional con una sólida formación en teoría de la representación. Los primeros dos capítulos brindan una introducción matemática decente a QFT, así como algunos de los resultados teóricos de representación que uno podría encontrar interesantes. El autor también presenta algo de la geometría algebraica que uno podría encontrar en un análisis formal de QFT (que por supuesto se dilucida en todo su esplendor en Quantum Fields and Strings .
El tercer libro es de una escuela de verano para estudiantes graduados de matemáticas y física. Como tal, presenta una gran variedad de temas y proporciona una introducción algo formal a QFT.
Finalmente, las notas de la clase de Leonard Gross sobre Teoría Cuántica de Campos son una buena introducción formal para matemáticos con a) experiencia en análisis yb) ninguna física superior a la mecánica clásica. Es un conjunto de notas fácil de leer con buenas referencias históricas. Mientras estudiaba física y matemáticas, encontré que estas notas son mi referencia favorita para QFT (quizás porque prefiero el análisis y la geometría diferencial al álgebra y la geometría algebraica).
Si buscas algo más fácil y pedagógico, entonces deberías echar un vistazo al maravilloso libro de Baez y Muniain llamado Gauge Fields, Knots and Gravity . Este libro desarrolla el formalismo matemático de la teoría de calibre de una manera amena y entretenida, y requiere muy pocos antecedentes para leer. Si desea aprender sobre los aspectos físicos de la teoría cuántica de campos, es posible que desee buscar en otra parte, pero este libro brinda una introducción matemática completamente independiente a la teoría de Chern-Simons, una teoría cuántica de campos con importantes aplicaciones en matemáticas puras.
Otro libro muy amigable sobre teoría cuántica de campos para matemáticos es Frobenius Algebras and 2D Topological Quantum Field Theories de J. Kock. Este es un excelente lugar para comenzar si desea estudiar el trabajo reciente de Jacob Lurie sobre la clasificación de las teorías topológicas cuánticas de campos. El único problema de este libro es que no dice mucho sobre cómo se utilizan las teorías cuánticas de campos para calcular las invariantes de los espacios topológicos. Por lo tanto, creo que es mejor complementar este libro con algo más, tal vez el artículo clásico de Atiyah.
Esto estaba destinado a ser un comentario, no una respuesta, pero no tengo suficiente reputación. Básicamente, hice una maestría en matemáticas (matemáticas puras), luego una maestría en física (QFT), luego un doctorado en matemáticas (material de geometría algebraica pura). Entonces, tuve que lidiar con el problema que está tratando de resolver. Creo que será difícil obtener una buena respuesta ya que no especifica por qué razón quiere aprender QFT. Algunos comentarios entonces:
Si va a trabajar en cosas como las ecuaciones de Seiberg-Witten desde una perspectiva matemática, entonces supongo que el libro de Baez y Muniain llamado Gauge Fields, Knots and Gravity (mencionado por Bob Jones arriba) es excelente ya que no necesitará cuantificar cosas de todos modos.
Si realmente desea obtener una comprensión del tema que incluya la perspectiva de la física (que es lo que traté de hacer), le sugiero que desarrolle algo de experiencia en física. Entonces, sugiero leer el libro de Sakurai en mecánica cuántica (que, desde mi formación puramente matemática de la época, era un buen libro), junto con libros que son para los profanos: QED de Feynman y El descubrimiento de Weinberg . partículas subatómicas . Utilicé estos libros con An Introduction To Quantum Field Theory de Peskin y Schroeder .
En realidad, traté de seguir al mismo tiempo un enfoque más "matemáticamente preciso" de QFT, pero al final pensé que era más difícil que el enfoque de la física, porque, creo, terminas gastando una enorme cantidad de tiempo para obtener en cualquier lugar, y arriesgue el cambio de ser enterrado en una pila de formalismo matemático antes de poder hacer cálculos simples.
Un último comentario. En mi experiencia, fue genial hablar con físicos (suelen ser más conversadores y contar más historias sobre su tema que los matemáticos). Por lo tanto, creo que es muy rentable pasar el rato con un grupo de estudiantes/profesores de física mientras se estudia QFT.
Como matemático aficionado, la Teoría cuántica de campos de Franz Mandl y Graham Shaw me pareció una introducción rápida y concisa. Sin embargo, será necesario haber cubierto algo de Mecánica Cuántica previamente. El libro me lo recomendaron originalmente.
Esta respuesta contiene algunos recursos adicionales que pueden ser útiles. Tenga en cuenta que la política del sitio sobre preguntas de recomendación de recursos desaconseja enfáticamente las respuestas que simplemente enumeran los recursos pero no brindan detalles . Esta respuesta se deja aquí para contener enlaces adicionales que aún no tienen comentarios.
Para la supersimetría (que, como bien dijo Alexander Braverman, es más importante para las aplicaciones matemáticas), el libro de Dan Freed ["Five Lectures on Supersymmetry".][3]
Teoría cuántica de campos (estudios matemáticos y monografías) de Folland
Mecánica Cuántica y Teoría Cuántica de Campos: Una Introducción Matemática
Aspectos matemáticos de la teoría cuántica de campos (estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas
Enlaces de Physics Stack Exchange:
Una buena introducción es "Teoría cuántica de campos para matemáticos" de Ticciati. Es genial en el sentido de que es bastante riguroso y autónomo, y sin embargo bastante amplio en su presentación.
Una presentación un poco más comprometida y extensa con temas específicos es "Cuerdas y campos cuánticos: un curso para matemáticos". Este es un conjunto de 2 volúmenes lleno de conferencias de personas en el campo. Eso sí, bastante técnico.
jonathan gleason
Igor Javkine