Grandes conjuntos canónicos hamiltonianos y termodinámicos

En realidad, reemplazando$H \to H - \mu N$ afecta sustancialmente la dinámica, pero lo hace de una manera bastante trivial. Esto es precisamente porque$H$y$N$viajar diariamente. Si dos operadores$A$y$B$conmutar, y solo entonces, podemos factorizar un exponencial como$e^{A + B} = e^{A} e^{B}$. Esto nos permite concluir que$e^{-iHt} = e^{iN\mu t} e^{-iKt}$. Es decir, somos libres de evolucionar con$K$siempre y cuando recordemos que al final del día tenemos que aplicar$e^{iN\mu t}$para recuperar la evolución temporal "verdadera". Esto es generalmente bastante fácil ya que$N$es un operador muy simple. Otra forma de verlo es que estamos trabajando en un "marco giratorio": estudiamos la evolución, no el estado real del sistema.$|\psi(t)\rangle$, pero del estado "girado"$e^{iN\mu t} |\psi(t)\rangle$.

La respuesta anterior, que afirmaba que las diferencias son insignificantes porque$\sqrt{ \langle (N - \bar{N})^2 \rangle }$es pequeño, no es correcto. En el límite termodinámico, esta cantidad todavía tiende a infinito. Su relación con$\bar{N}$va a cero, pero tendría que ir a cero en valor absoluto para no afectar la dinámica, y este no es el caso. De hecho, se puede verificar que, por ejemplo, el valor esperado (en un sistema bosónico) de un operador de creación de bosones$\langle a^{\dagger} \rangle$gira a una frecuencia diferente bajo$K$que debajo$H$(específicamente, la diferencia en frecuencia es$\mu$). Esto se explica precisamente por la rotación adicional de$e^{iN \mu t}$discutido anteriormente.

La ecuación de Schrödinger no es invariante bajo el cambio$H\rightarrow K$. Sin embargo, en el gran conjunto canónico con algunos valores de temperatura inversa$\beta$y potencial químico$\mu$, la fluctuación del número de partículas$N$es del orden de$\sqrt{\langle N \rangle }$, dónde$\langle N \rangle$es el número promedio de partículas en este conjunto. Esta fluctuación es mucho menor que$\langle N\rangle$, por lo que los estados de este conjunto probablemente tengan un número de partículas muy cercano a$\langle N \rangle$, y$K=H-\mu N$da más o menos la misma evolución que$K^\prime=H-\mu \langle N\rangle$ para este gran conjunto canónico específico . Y$K^\prime$es de hecho justo$H$con un cambio constante.

La discusión parece haber terminado hace mucho tiempo, pero de todos modos pondré mis 5 centavos.

Esta es una muy buena pregunta que he estado tratando de responder para entender el formalismo de la función de Green de Matsubara. Sorprendentemente, esta pregunta no se aborda en los libros de texto que conozco.

La condición$[\hat{\mathcal{O}}, \hat H] = 0$no es suficiente para poder reemplazar el operador de evolución temporal con$e^{i(\hat H + \hat{\mathcal{O}})t}$y rotar el estado a$e^{-i\hat{\mathcal{O}}t}|\psi\rangle$. Lo especial del operador de número de partículas$\hat N$es que se utiliza en la segunda imagen de cuantización y actúa sobre los estados representados por números de ocupación,$|n_1, n_2, \ldots\rangle$. Entonces, el estado rotado$e^{-i\mu\hat Nt}|n_1, n_2, \ldots\rangle = e^{-i\mu (n_1 + n_2 + \ldots)t}|n_1, n_2, \ldots\rangle$difiere del estado original por sólo un factor de fase. Como la fase de una función de onda no es observable, el estado girado$e^{-i\mu\hat Nt}|n_1, n_2, \ldots\rangle$es físicamente equivalente al estado original$|n_1, n_2, \ldots\rangle$. Para un operador arbitrario$e^{i\hat{\mathcal{O}}t}$, esto no es necesariamente el caso, porque$|\psi\rangle$puede ser una superposición de muchos estados propios de$\hat{\mathcal{O}}$; si rotas cada una de esas contribuciones con$e^{-i\hat{\mathcal{O}}t}$, adquirirán diferentes factores de fase.

El término$-\mu\hat N$se añade al hamiltoniano, convirtiéndolo así en el gran hamiltoniano canónico, para poder desarrollar el método de la función de Green a temperaturas finitas. Es bueno tener el mismo hamiltoniano en el operador estadístico y en el operador de evolución temporal, por lo que objetos como$G(t) = -i\,\text{Tr}(e^{-\beta(\hat H - \mu\hat N)}[e^{i(\hat H - \mu\hat N)t}\,\hat A\,e^{-i(\hat H - \mu\hat N)t}, \hat B])$podría ser manipulado más fácilmente.

Existe una suposición adicional inherente al uso del mismo hamiltoniano en el operador estadístico canónico (o gran canónico),$e^{-\beta\hat{H}}$, y en el operador de evolución temporal,$e^{i\hat{H}t}$. Los operadores de imágenes de Heisenberg evolucionan de acuerdo con$e^{i\hat H t}\hat Ae^{-i\hat H t}$sólo si el sistema está aislado. Pero la (gran) distribución canónica implica que el sistema no está aislado; más bien, está acoplado a un baño de calor mucho más grande, con el cual nuestro sistema intercambia energía (y partículas en el gran caso canónico). Entonces, estrictamente hablando, deberíamos incluir el hamiltoniano que describe el acoplamiento sistema-baño en el operador:$\hat A(t) = e^{i(\hat H + \hat H_{SB})t}\hat Ae^{-i(\hat H + H_{SB})t}$. Despreciar el acoplamiento hamiltoniano es una aproximación. El acoplamiento sistema-baño debe ser débil.